Kazalo

Predgovor 3

0 Oznake, definicije in izreki 5

1 Topološki prostori 30 1.1 Topološka struktura na množici . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2 Zvezne preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3 Baze in podbaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4 Separacijski aksiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 Podprostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Kompaktnost 41 2.1 Kompaktni metrični prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Kompaktni podprostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Preslikave kompaktnih prostorov . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Lokalno kompaktni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Kompaktifikacija z eno točko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Povezanost 46 3.1 Povezanost in povezanost s potmi . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Lokalna povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Produkti 51 4.1 Topološki produkt končno faktorjev . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Topološki produkt neskončno faktorjev . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Algebrske strukture na topoloških prostorih . . . . . . . . . . 53

5 Zvezne realne funkcije 55 5.1 Eksistenca in razširjanje funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Stone-Weierstrassov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Kvocientni prostori 59 6.1 Kvocientna topologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Preslikave kvocientnih prostorov . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3 Zlepki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.4 Projektivni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Osnovni izreki topologije evklidskih prostorov 63

8 Kompleksi in poliedri 65 8.1 Osnovni pojmi afine geometrije v IR^{n} . . . . . . . . . . . . . . 65 8.2 Simpleksi in politopi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 8.3 Simplicialni in politopni kompleksi, poliedri . . . . . . . . . . 67 8.4 Simplicialne in kosoma linearne preslikave . . . . . . . . . . . 67 8.5 Eulerjeva karakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9 Mnogoterosti 70 9.1 Splošne mnogoterosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9.2 Ploskve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10 Rešitve nalog 74

10.1 Topološki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 10.2 Kompaktnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 10.3 Povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.4 Produkti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.5 Zvezne realne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.6 Kvocientni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.7 Osnovni izreki topologije evklidskih prostorov . . . . . . . . . 112 10.8 Kompleksi in poliedri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10.9 Mnogoterosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Vodnik po literaturi 125 4 KAZALO

Predgovor

V pričujoči zbirki so zbrane rešene naloge z vaj, kolokvijev in izpitov k predmetu Topologija. Njen osnovni namen je, da pomaga študentu obvladati zahtevno snov in se pripraviti na pisni del izpita. Izdana je v upanju, da bo pomagala Topologiji, da se otrese slovesa ‘težkega’ predmeta.

V začetnem, 0. poglavju so zbrane definicije večine uporabljenih pojmov in našteta osnovna dejstva. Poglavje je mišljeno le kot zgoščeni repetitorij snovi in ne kot nadomestek za knjigo. Sledijo naloge, razdeljene v devet poglavij, ki poskušajo čim natančneje slediti programu predmeta Topologija. V desetem poglavju so podane rešitve vseh nalog, razen nekaj zares rutinskih preverjanj dejstev. Niso pa vse rešitve enako podrobne; praviloma imajo težje naloge rešitve, ki del premisleka prepuščajo bralcu.

Črka pri številki naloge (včasih tudi dela naloge) označuje težavnost. Naloge so po težavnosti razdeljene v nekaj skupin: lahke (L), kjer rešitev izhaja iz osnovnih definicij; rutinske (R), pri katerih zadošča uporaba standardnih, ne preveč zahtevnih dejstev; povprečne (brez oznake), ki običajno zahtevajo standardna dejstva in manjši premislek ali konstrukcijo; zahtevne (Z), pri katerih je potreben netrivialen premislek ali konstrukcija, ter težke (T).

Moje osebno mnenje je, da bi študent za pozitivno oceno moral biti sposoben rešiti vse lahke in rutinske naloge ter vsaj del povprečno težkih.

Naloge so praviloma samostojne, le nekaj se jih sklicuje na rešitve prejšnjih nalog, komaj kakšna, čeprav sodi v dano poglavje, zahteva za rešitev kasnejšo snov. V obeh primerih je pri nalogi to navedeno.

Zadnje poglavje je vodnik po literaturi s posebnim poudarkom na učbenikih, v katerih so tudi naloge.

Zahvala. Kot sem že omenil, so v zbirki naloge z vaj, izpitov in kolokvijev k predmetu Topologija, zato je le-ta, že po naravi skupinsko delo predavatelja in asistentov, ki so v preteklih letih vodili ta predmet: za to se jim zahvaljujem. Posebej bi se želel zahvaliti S. Strletu, ki je razen podpore in mnogih zelo koristnih nasvetov prispeval tudi nekaj rešitev nalog in me tako večkrat rešil iz hudih zagat. Veliko mi je pomagal tudi A.Bauer: seznam definicij in izrekov, ki ga je sestavil, je z manjšimi spremembami in dopolnitvami postal ničto poglavje zbirke. Prav tako se zahvaljujem tudi recenzentoma, ki sta izjemno skrbno prebrala delo in mi pomagala odpraviti marsikatero napako in nejasnost. Hvala tudi vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli k nastanku tega dela.

Oznake, definicije in izreki

V tej zbirki bomo uporabljali naslednje standardne oznake:

P(X) potenčna množica množice X A^{c}, X − A komplement množice A (v X) X ∐ Y disjunktna unija, topološka vsota Γ_{f} graf funkcije f f: (X, A) → (Y, B) funkcija f: X → Y, za katero je f(A) ⊆ B

(A ⊆ X; B ⊆ Y)

f: (X,A,A′)→(Y,B,B′) funkcija f: X → Y, za katero je f(A) ⊆ B in f(A′) ⊆ B′ (A, A′ ⊆ X; B, B′ ⊆ Y)

IN množica naravnih števil 1, 2, 3, … ZZ množica celih števil CQ množica racionalnih števil IR množica realnih števil CC množica kompleksnih števil K_{d}(x, r), \overline{K}_{d}(x, r) odprta in zaprta krogla s središčem v x

in radijem r v metriki d

I enotski interval [0, 1] B^{n} standardna enotska krogla v IR^{n} S^{n} standardna enotska sfera v IR^{n+1} IR_{+} množica realnih števil, večjih ali enakih 0 IR_{+}^{n}, IR_{−}^{n} zgornji in spodnji zaprti polprostor

(IR_{+}^{n} = IR^{n−1} × IR_{+})

S_{+}^{n}, S_{−}^{n} zgornja in spodnja zaprta hemisfera sfere S^{n}

(S_{+}^{n} = S^{n} ∩ IR_{+}^{n+1})

IRP^{n}, CCP^{n} realni in kompleksni projektivni prostor I^{∞} Hilbertova kocka

Int_{X}(A), Fr_{X}(A) notranjost in rob množice A v prostoru X Cl_{X}(A), \overline{A} zaprtje množice A (v prostoru X) X′ množica stekališč množice X (izpeljana množica)

C(X, Y) množica zveznih funkcij iz X v Y C(X) = C(X, IR) množica zveznih realnih funkcij na prostoru X G(f, K, ϵ) bazična okolica v prostoru funkcij, ki slikajo

v metrični prostor

G(K, V) podbazična okolica za topologijo konvergence po točkah in kompaktno-odprto topologijo

⟨U_{1}, …, U_{n}⟩ tipična bazična okolica v produktu topoloških prostorov X^{+} kompaktifikacija prostora X z eno točko p ∗ P spoj prostora P s točko p

X ∪_{f} Y zlepek prostorov X in Y s preslikavo f : A → Y

(A ⊂ X)

CX stožec nad prostorom X ΣX suspenzija prostora X

A(K) afina ogrinjača množice K co(K) konveksna ogrinjača množice K Δ^{n} standardni n-razsežni simpleks χ(X) Eulerjeva karakteristika poliedra (prostora) X K^{(k)} k-skelet simplicialnega kompleksa K |K| telo simplicialnega kompleksa K Int M notranjost mnogoterosti M ∂M rob mnogoterosti M M#N povezana vsota mnogoterosti

Povrhu beseda prostor brez dodatnih kvalifikacij vedno označuje množico s topologijo, torej topološki prostor. Podobno zvezno funkcijo med topološkima prostoroma kratko imenujemo preslikava.

Navedli bomo še nekaj definicij in izrekov, ki jih bomo uporabljali v nalogah in rešitvah, praviloma brez eksplicitne omembe. Seznam nikakor ni popoln, omejili smo se le na pojme in dejstva, ki se najpogosteje pojavljajo v nalogah. Nekateri izreki ali njihovi posebni primeri bodo nastopali tudi kot samostojne naloge.

Topološka struktura

Def 1 Topološka struktura (X, T ) je množica X skupaj z družino T ⊂ P(X) za katero velja:

1. ∅ in X sta elementa T .

2. Poljubna unija množic iz T je element T .

3. Poljuben končen presek množic iz T je element T .

Par (X, T ) ali kratko X imenujemo topološki prostor, družino T topologija in elemente T odprte množice. Množica F ⊆ X je zaprta, če obstaja tak U ∈ T , da je F = X − U.

Def 2 Množica A ⊆ X je okolica točke x v prostoru X s topologijo T , če obstaja tak U ∈ T , da je x ∈ U ⊆ A.

Def 3 1. Točka x je izolirana točka prostora X, če ima okolico, ki ne vsebuje nobene druge točke iz X.

2. Točka x ∈ X je stekališče množice A, če je v vsaki njeni okolici U(x) kaka, od x različna, točka iz A. Množico vseh stekališč množice A označimo z A′ in jo imenujemo izpeljana množica.

3. Točka x ∈ X je adherentna množici A ⊂ X, če vsaka okolica U(x) vsebuje vsaj eno točko iz A.

4. Zaprtje množice A v X je \overline{A} = Cl_{X}(A) := \{x | x je adherentna A\}.

5. Notranjost množice A v X je Int(A) = Int_{X}(A) := ⋃{U | U odprta in U ⊂ A}.

6. Rob ali meja množice A ⊆ X je Fr(A) = Fr_{X}(A) := \overline{A} ∩ \overline{A^{C}}.

Izr 1 1. A ⊂ \overline{A}.

2. A je zaprta ⟺ A = \overline{A}.

3. \overline{A} = ⋂\{F | F je zaprta in F ⊃ A\}.

4. \overline{A} = A ∪ A′.

5. A je zaprta ⟺ A′ ⊂ A.

6. Int(A) = (\overline{A^{C}})^{C}.

7. Fr(A) = \overline{A} − Int(A).

8. Fr(A) ∩ Int(A) = ∅.

9. \overline{A} = Int(A) ∪ F r(A).

10. X je enak disjunktni uniji Int(A) ∪ Fr(A) ∪ Int(A^{C}). Def 4 Denimo, da sta na množici X dani dve topologiji, T in T′. Če je T′ (strogo) vsebovana v T pravimo, da je topologija T (strogo) močnejša od topologije T′, če pa velja obratno, pravimo, da je (strogo) šibkejša. Izr 2 Unija in presek poljubne družine topologij na X sta tudi topologiji na X.

Vpeljava topologije na množico

Izr 3 Bodi X množica in c : P(X) → P(X) preslikava z lastnostmi: 1. c(∅) = ∅.

2. A ⊂ c(A).

3. c(c(A)) = c(A).

4. c(A ∪ B) = c(A) ∪ c(B). Tedaj je družina T = \{c(A)^{C} | A ∈ P(X)\} topologija na X in \overline{A} = c(A); c imenujemo operator zaprtja. Izr 4 Bodi X množica in γ : P(X) → P(X) preslikava z lastnostmi:

1. γ(∅) = ∅.

2. γ(γ(A)) ⊂ A ∪ γ(A).

3. γ(A ∪ B) = γ(A) ∪ γ(B).

4. Za vsak x ∈ X velja x ∉ γ({x}). Tedaj je družina T = {(A ∪ γ(A))^{C} | A ∈ P(X)} topologija na X in A′ = γ(A). Izr 5 Bodi X množica in η : P(X) → P(X) preslikava z lastnostmi:

1. η(X) = X.

2. η(A) ⊂ A.

3. η(η(A)) = η(A).

4. η(A ∩ B) = η(A) ∩ η(B). Tedaj je družina T = {η(A)| A ∈ P(X)} topologija na X in Int(A) = η(A). Izr 6 Bodi X množica in β : P(X) → P(X) preslikava z lastnostmi:

1. β(∅) = ∅.

2. β(A) = β(A^{C}).

3. β(β(A)) ⊂ β(A).

4. A ∩ B ∩ β(A ∩ B) = A ∩ B ∩ (β(A) ∪ β(B)). Tedaj je družina T = {(A ∪ β(A))^{C}| A ∈ P(X)} topologija na X in Fr(A) = β(A). Izr 7 Bodi X množica in A ⊂ P(X) družina z lastnostmi:

1. ∅ in X sta v A.

2. Poljuben presek množic iz A je element A.

3. Poljubna končna unija množic iz A je element A. Tedaj je T = {A^{C} | A ∈ A} topologija na X in A je natanko družina vseh zaprtih množic.

Baze in podbaze

Def 5 Baza topologije T je družina B ⊂ T , za katero velja, da je vsaka odprta množica iz T unija kake poddružine B. Izr 8 B je baza za T ⟺ za vsak x ∈ G ∈ T obstaja U ∈ B ∋: x ∈ U ⊂ G. Izr 9 Bodi B ⊂ T baza. Potem: A ⊆ X odprta ⟺ za vsak x ∈ A obstaja U ∈ B ∋: x ∈ U ⊂ A. Izr 10 Bodi B = {U_{μ} | μ ∈ M} taka družina podmnožic X, da za vsaka U_{λ}, U_{μ} ∈ B je bodisi U_{λ} ∩ U_{μ} = ∅, bodisi za vsak x ∈ U_{λ} ∩ U_{μ} obstaja tak U_{α} ∈ B, da je x ∈ U_{α} ⊂ U_{λ} ∩ U_{μ}. Tedaj obstaja natanko ena topologija T (B), za katero je B baza. Def 6 Dve bazi B in B′ sta ekvivalentni, če je T (B) = T (B′). Izr 11 Bazi B in B′ sta ekvivalentni natanko tedaj, ko velja:

1. Za vsak U ∈ B in za vsak x ∈ U obstaja tak U′ ∈ B′, da je x ∈ U′ ⊂ U.

2. Za vsak U′ ∈ B′ in za vsak x ∈ U′ obstaja tak U ∈ B, da je x ∈ U ⊂ U′.

(Če velja samo prvi pogoj, potem je T (B) prava podmnožica T (B′).) Def 7 Družina podmnožic X je pokritje podmnožice A ⊆ X, če je A vsebovan v uniji te družine. Def 8 Pokritje P prostora X je podbaza, če vsi preseki končno mnogih množic iz podbaze sestavljajo bazo. Izr 12 Če je P pokritje prostora X, potem obstaja natanko ena topologija T (P) na X, ki ima P za podbazo. To je najšibkejša topologija na X, v kateri so vsebovane vse množice iz P. Def 9 D ⊂ X je gosta v X, če je \overline{D} = X. Izr 13 X je edina zaprta gosta množica v X. Izr 14 Naslednje izjave so ekvivalentne:

1. D je gosta v X.

2. F je zaprta v X in D ⊂ F ⟹ F = X.

3. Vsaka neprazna odprta množica v X vsebuje kako točko iz D.

4. Int(D^{C}) = ∅. Def 10 Družina B_{x} odprtih okolic točke x ∈ X je baza okolic točke x, če vsaka okolica U točke x vsebuje kakšno okolico V ∈ B_{x}. Def 11 Prostor X ustreza prvemu aksiomu števnosti (je 1-števen), če ima vsaka točka x ∈ X kašno števno bazo okolic. Def 12 Prostor X ustreza drugemu aksiomu števnosti (je 2-števen), če ima kakšno števno bazo topologije. Def 13 Prostor X je separabilen, če vsebuje kakšno števno, gosto množico. Izr 15 Če je prostor X 2-števen, je tudi separabilen in 1-števen. Obrat ne velja. Izr 16 Za podmnožico A 1-števnega prostora X velja: x ∈ X je v zaprtju A, če in samo če obstaja zaporedje v A, ki konvergira k x.

Podprostori

Def 14 Bodi (X, T ) topološki prostor in Y ⊂ X. Inducirana topologija na Y je topologija T_{Y} = {Y ∩ U | U ∈ T }, topološki prostor (Y, T_{Y}) pa je podprostor prostora (X, T ).

Izr 17 Bodi (Y, T_{Y}) podprostor (X, T ). Potem:

1. {U_{α} | α ∈ A} je baza za T ⟹ {U_{α} ∩ Y | α ∈ A} je baza za T_{Y}.

2. Bodi A ⊂ Y. Tedaj: A je zaprta v T_{Y} ⟺ A = F ∩ Y, kjer je F zaprta v T .

3. Cl_{Y} (A) = Y ∩ \overline{A}; A′_{Y} = Y ∩ A′; Y ∩ Int(A) ⊂ Int_{Y} (A); Fr_{Y} (A) ⊂ Y ∩ Fr(A).

Izr 18 Bodi Y podprostor X. Tedaj: A ⊂ Y je zaprta (odprta) v Y in Y je zaprt (odprt) v X ⟹ A zaprta (odprta) v X.

Metrični prostori

Def 15 Metrika na množici X je preslikava d : X × X → IR z lastnostmi:

1. d(x, y) ≥ 0 za vse x, y ∈ X.

2. d(x, y) = 0 ⟺ x = y.

3. d(x, y) = d(y, x) za vse x, y ∈ X.

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) za vse x, y, z ∈ X.

Def 16 Topologija T (d) na metričnem prostoru (X, d) je določena z bazo {K_{d}(x, r) | x ∈ X, r > 0}.

Def 17 Topološki prostor (X, T ) je metrizabilen, če obstaja kaka metrika d na X, za katero je T = T (d).

Def 18 Dve metriki d in ρ na prostoru X sta ekvivalentni, če inducirata isto topologijo, T (d) = T (ρ).

Def 19 1. Razdalja točke od množice: d(y_{0}, A) = inf{d(y_{0}, a) | a ∈ A}.

2. Razdalja med množicama: d(A, B) = inf{d(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} = inf{d(a, B) | a ∈ A}.

3. Diameter (premer) množice: δ(A) = sup{d(x, y) | x, y ∈ A}.

Izr 19 Bodi (X, d) metrični prostor in A neprazna podmnožica. Tedaj je preslikava f : X → IR, definirana z f(x) := d(x, A), zvezna.

Izr 20 Vsak metrični prostor je 1-števen.

Izr 21 Za metrični prostor X velja: X je 2-števen ⟺ X je separabilen.

Izr 22 Vsak podprostor A metrizabilnega prostora (X, d) je metrizabilen. Metrika d|_{A} na A, inducirana z d, inducira isto topologijo kot prostor X (T_{A} = T (d|_{A})).

Zvezne preslikave

Def 20 Bodita (X, T_{X}) in (Y, T_{Y}) topološka prostora. Preslikava f : X → Y je zvezna, če je praslika vsake odprte množice v Y odprta v X (f^{−1}(T_{Y}) ⊂ T_{X}).

Izr 23 1. f : X → Y in g : Y → Z sta zvezni ⟹ g ∘ f : X → Z je zvezna.

2. f : X → Y je zvezna in A ⊂ X ⟹ f|_{A} : A → Y je zvezna glede na inducirano topologijo T_{A}.

3. f : X → Y je zvezna ⟹ f : X → f(X) je zvezna glede na inducirano topologijo T_{f(X)}.

Izr 24 Bodita X in Y topološka prostora in f : X → Y preslikava. Tedaj so naslednje izjave ekvivalentne:

1. f je zvezna.

2. Praslika vsake zaprte množice v Y je zaprta v X.

3. Praslike množic iz kake baze (podbaze) za Y so odprte v X.

4. Za vsak x ∈ X in za vsako okolico W (f(x)) v Y obstaja takšna okolica V (x) da velja f(V (x)) ⊂ W (f(x)).

5. f(\overline{A}) ⊂ \overline{f(A)} za vse A ⊂ X.

6. \overline{f^{−1}(B)} ⊂ f^{−1}(\overline{B}) za vse B ⊂ Y.

Def 21 Preslikava f : X → Y je zvezna v točki x ∈ X, če za vsako okolico W (f(x)) v Y obstaja okolica V (x) za katero je f(V (x)) ⊂ W (f(x)).

Izr 25 Če je prostor X 1-števen, je funkcija f : X → Y zvezna v točki x ∈ X, če in samo če za vsako zaporedje (x_{n}), ki konvegira k x, zaporedje (f(x_{n})) konvergira k f(x).

Izr 26 Bodi {A_{α} | α ∈ A} odprto pokritje prostora X. Če je za vsak α ∈ A dana zvezna preslikava f_{α} : A_{α} → Y in če za vsaka α, β ∈ A velja f_{α}|_{A_{α}∩A_{β}} = f_{β}|_{A_{α}∩A_{β}}, tedaj obstaja natanko ena zvezna preslikava f : X → Y, za katero velja f|_{A_{α}} = f_{α} za vsak α ∈ A.

Def 22 Družina podmnožic prostora X je lokalno končna, če ima vsaka točka v X kako okolico, ki seka le končno mnogo členov družine. Izr 27 Bodi {A_{α} | α ∈ A} lokalno končno zaprto pokritje prostora X. Če je za vsak α ∈ A dana zvezna preslikava f_{α} : A_{α} → Y in če za vsaka α, β ∈ A velja f_{α}|_{A_{α}∩A_{β}} = f_{β}|_{A_{α}∩A_{β}}, tedaj obstaja natanko ena zvezna preslikava f : X → Y, za katero velja f|_{A_{α}} = f_{α} za vsak α ∈ A. Izr 28 Preslikava f : X → IR je zvezna ⟺ množici {x | f(x) > b} in {x | f(x) < b} sta odprti za vsak b ∈ IR. Izr 29 Bodita f, g : X → IR zvezni. Tedaj so zvezne tudi preslikave:

1. |f|^{α} za vsak α > 0;

2. af + bg za vse a, b ∈ IR;

3. f · g;

4. 1/f, če je le f(x) ≠ 0 na X. Def 23 Preslikava f : X → Y je odprta (zaprta), če je slika vsake odprte (zaprte) množice v X odprta (zaprta) v Y. Izr 30 Naslednje izjave so ekvivalentne:

1. f : X → Y je odprta preslikava.

2. f(Int(A)) ⊂ Int(f(A)) za vsak A ⊂ X.

3. f preslika elemente baze za X v odprte množice v Y.

4. Za vsak x ∈ X in vsako okolico U točke x obstaja okolica W točke

f(x) v Y, za katero je f(x) ∈ W ⊂ f(U). Izr 31 f : X → Y je zaprta ⟺ \overline{f(A)} ⊂ f(\overline{A}).

Homeomorfizmi

Def 24 Preslikava f : X → Y je homeomorfizem, če je bijektivna, zvezna in ima zvezen inverz. Pravimo, da sta prostora X in Y homeomorfna, če obstaja kak homeomorfizem X → Y. To označimo z f : X ≈ Y. Izr 32 Bodi f : X → Y bijektivna. Naslednje lastnosti f so ekvivalentne:

1. f je homeomorfizem.

2. f je zvezna in odprta.

3. f je zvezna in zaprta.

4. f(\overline{A}) = \overline{f(A)} za vsak A ⊂ X.

Izr 33 Če za zvezni preslikavi f : X → Y in g : Y → X velja, da je g ∘ f = 1_{X} in f ∘ g = 1_{Y}, potem je f homeomorfizem in f^{−1} = g. Izr 34 Bodi f : X ≈ Y in A ⊂ X. Tedaj je f|_{A} : A ≈ f(A) in f|_{X−A} : X − A ≈ Y − f(A).

Separacijske lastnosti

Def 25 1. Prostor X je T_{0}, če med poljubnima različnima točkama iz

X vsaj ena točka ima okolico, ki ne vsebuje druge točke.

2. Prostor X je T_{1}, če za poljubna različna x, y ∈ X obstaja okolica U(x), ki ne vsebuje y.

3. Prostor X je T_{2} ali Hausdorffov, če za poljubna različna x, y ∈ X obstajata disjunktni okolici U(x) in V (y).

4. Prostor X je T_{3}, če za vsako točko x ∈ X in za vsako zaprto množico A ⊂ X, ki ne vsebuje x, obstajata okolica U(x) in odprta okolica V ⊃ A, ki nimata skupnih točk.

5. Prostor X je T_{4}, če za vsaki dve zaprti disjunktni množici A in B obstajata disjunktni odprti okolici U ⊃ A in V ⊃ B.

6. Prostor je regularen, če je T_{1} in T_{3}.

7. Prostor je normalen, če je T_{1} in T_{4}. Izr 35 Prostor je T_{1}, če in samo če je vsaka točka zaprta množica. Izr 36 1. Normalen prostor je tudi regularen in T_{2}.

2. Regularen prostor je tudi T_{2}.

3. Metrizabilen prostor je normalen. Izr 37 Naslednje izjave so ekvivalentne:

1. Y je T_{2}.

2. Za poljubni različni točki x, y ∈ Y obstaja okolica U(x), katere zaprtje ne vsebuje y.

3. Za vsak x ∈ Y je ⋂\{\overline{U} | U je okolica x\} = \{x\}.

4. Diagonala Δ = {(x, x) | x ∈ Y } je zaprta v prostoru Y × Y. Izr 38 Zaprte bijekcije ohranjajo lastnost T_{2}. Izr 39 Bodi X poljuben, Y naj bo T_{2} in f, g : X → Y zvezni. Tedaj:

1. {x | f(x) = g(x)} je zaprta v X.

2. D ⊂ X je gosta v X in f|_{D} = g|_{D} ⟹ f = g na X.

3. Graf zvezne funkcije f : X → Y je zaprta množica v X × Y.

4. f je injektivna in zvezna ⟹ X je T_{2}. Izr 40 Naslednje lastnosti so ekvivalentne:

1. Y je T_{3}.

2. Za vsak y ∈ Y in za vsako okolico U(y) obstaja okolica V (y) za katero velja y ∈ V (y) ⊂ \overline{V (y)} ⊂ U(y).

3. Za vsak y ∈ Y in za vsako zaprto množico A, ki ne vsebuje y obstaja

okolica V (y) katere zaprtje ne seka A. Izr 41 Naslednje lastnosti so ekvivalentne:

1. Y je T_{4}.

2. Za vsako zaprto množico A in odprto množico U ⊃ A obstaja odprta množica V z lastnostjo A ⊂ V ⊂ \overline{V} ⊂ U.

3. Za poljubni zaprti disjunktni množici A, B obstaja odprta množica U za katero velja A ⊂ U in \overline{U} ∩ B = ∅.

4. Za poljubni zaprti disjunktni množici A, B obstajata odprti množici

U, V tako, da velja A ⊂ U, B ⊂ V in \overline{U} ∩ \overline{V} = ∅. Izr 42 1. Zaprte zvezne surjekcije ohranjajo normalnost.

2. Zaprt podprostor normalnega prostora je normalen.

Kompaktnost

Def 26 Prostor X je kompakten, če ima vsako odprto pokritje prostora X končno podpokritje. Izr 43 X je kompakten ⟺ za vsako družino {F_{α} | α ∈ A} zaprtih množic, za katero ⋂ F_{α} = ∅, obstaja končna poddružina F_{α_{1}}, …, F_{α_{n}}, za katero je ⋂_{1}^{n} F_{α_{i}} = ∅. Izr 44 1. Slika kompaktnega prostora z zvezno preslikavo je kompaktna.

2. Kompakten podprostor Hausdorffovega prostora X je zaprt v X.

3. Podprostor kompaktnega Hausdorffovega prostora X je kompakten

natanko tedaj, ko je zaprt v X. Izr 45 1. Končna unija kompaktnih podprostorov je kompaktna.

2. V Hausdorffovem prostoru imata disjunktna kompaktna podprostora disjunktni odprti okolici.

3. Če je A kompakten podprostor regularnega prostora X ⟹ za vsako odprto množico U ⊃ A obstaja odprta množica V za katero velja A ⊂ V ⊂ \overline{V} ⊂ U.

4. Kompakten Hausdorffov prostor je normalen.

Izr 46 Bodi X Hausdorffov in F_{1} ⊃ F_{2} ⊃ F_{3} ⊃ … padajoče zaporedje nepraznih kompaktnih podprostorov. Tedaj velja:

1. ⋂ F_{n} = C je neprazen in kompakten.

2. Za vsako odprto podmnožico U ⊃ C obstaja tak n_{0}, da je F_{n} ⊂ U za vse n ≥ n_{0}.

Def 27 Kontinuum je kompakten, povezan, Hausdorffov prostor.

Izr 47 Bodi X_{1} ⊃ X_{2} ⊃ X_{3} … padajoče zaporedje kontinuumov. Potem je ⋂_{1}^{∞} X_{i} neprazen kontinuum.

Izr 48 Bodi X kompakten, Y Hausdorffov, f : X → Y pa zvezna. Tedaj velja:

1. f je zaprta preslikava.

2. f zvezna bijekcija ⟹ f je homeomorfizem.

Izr 49 Bodi X kompakten, f : X → IR pa zvezna. Tedaj je f omejena ter zavzame svoj infimum in supremum.

Izr 50 Naj bosta X in Y Hausdorffova, Y pa še kompakten. Tedaj: f : X → Y je zvezna ⟺ graf Γ_{f} je zaprta množica v X × Y.

Izr 51 V metričnem prostoru je vsaka kompaktna množica zaprta in omejena. Obrat ne velja.

Def 28 Podprostor A metričnega prostora M je povsem omejen, če za vsak ϵ > 0 obstaja končno pokritje A z odprtimi množicami, ki imajo diameter manjši kot ϵ.

Izr 52 Podprostor A metričnega prostora M je kompakten, če in samo če je poln in povsem omejen.

Izr 53 V IR^{n} je podmožica A kompaktna, če in samo če je zaprta in omejena.

Izr 54 Bodi X metričen, A ⊂ X zaprta in C ⊂ X kompaktna. Če je C ∩ A = ∅, je d(A, C) > 0.

Izr 55 Bodi (X, d) kompakten metričen prostor in {U_{α} | α ∈ A} njegovo odprto pokritje. Tedaj obstaja pozitivno realno število λ (odvisno od pokritja), tako da je vsaka krogla K_{d}(x, λ) vsebovana v vsaj enem U_{α}. Število λ, ki zadošča temu pogoju, se imenuje Lebesguevo število pokritja {U_{α} | α ∈ A}.

Lokalna kompaktnost

Def 29 Prostor je lokalno kompakten, če ima vsaka točka prostora kako kompaktno okolico.

Def 30 Odprta podmnožica topološkega prostora je relativno kompaktna, če je njeno zaprtje kompaktno.

Izr 56 Naslednje lastnosti Hausdorffovega prostora so ekvivalentne:

1. X je lokalno kompakten

2. Za vsak x ∈ X in za vsako okolico U(x) obstaja kompaktna okolica V (x) za katero velja x ∈ V (x) ⊂ U(x).

3. Za vsako kompaktno množico C in vsako odprto U ⊃ C obstaja relativno kompaktna množica V za katero velja C ⊂ V ⊂ \overline{V} ⊂ U.

Izr 57 Hausdorffov prostor je lokalno kompakten natanko tedaj, ko ima bazo iz relativno kompaktnih množic.

Izr 58 2-števen lokalno kompakten Hausdorffov prostor ima števno bazo iz relativno kompaktnih množic.

Izr 59 1. Zvezne odprte preslikave ohranjajo lokalno kompaktnost.

2. Lokalno kompakten podprostor A Hausdorffovega prostora X je oblike A = F ∩ V, kjer je F zaprta in V odprta v X.

3. Podprostor lokalno kompaktnega Hausdorffovega prostora je lokalno kompakten natanko tedaj, ko je oblike F ∩ V, kjer je F zaprta in V odprta.

Kompaktifikacija

Def 31 Kompaktifikacija prostora X je par (X̂, h), kjer je X̂ kompakten prostor, h : X → X̂ vložitev in h(X) gosta v X̂ (drugače povedano, h je homeomorfizem prostora X na gosto podmnožico prostora X̂).

Izr 60 Kompaktifikacija z eno točko (kompaktifikacija Aleksandrova).

1. Bodi X topološki prostor in ∞ točka, ki ni v X (točka v neskončnosti). Naj bo X^{+} := X∪{∞}. V X^{+} uvedemo topologijo: U ⊂ X^{+} je odprta natanko tedaj, ko je

a) U ⊂ X in U odprta v X, ali

b) ∞ ∈ U in X − U zaprta in kompaktna v X.

Ekvivalentna je definicija topologije z zaprtimi množicami F ⊂ X^{+}. F je zaprta natanko tedaj, ko je: c) F ⊆ X zaprta, kompaktna v X, ali

d) ∞ ∈ F in je F − {∞} zaprta v X.

X^{+} je kompaktifikacija prostora X z eno točko ∞.

2. X^{+} je kompakten in X je odprta podmnožica X^{+}.

3. ∞ je izolirana točka ⟺ X je kompakten.

4. X^{+} je T_{2} ⟺ X je T_{2} in lokalno kompakten.

5. Predpostavimo, da je X lokalno kompakten in T_{2}, Y kompakten in T_{2} in da obstaja točka y_{0} ∈ Y ∋: X ≈ Y −{y_{0}}. Tedaj je Y ≈ X^{+} in vsak homeomorfizem h : X ≈ Y − {y_{0}} lahko razširimo do homeomorfizma X^{+} ≈ Y s predpisom ∞ ↦ y_{0}.

Kompaktno-odprta topologija

Def 32 Označimo s C(X, Y) množico vseh zveznih preslikav iz X v Y in z G(A, B) := {f ∈ C(X, Y) | f(A) ⊂ B}. Kompaktno-odprta topologija (c-topologija) na prostoru C(X, Y) je določena s podbazo, v kateri so vse množice G(K, V), kjer je K ⊂ X kompaktna in V ⊂ Y odprta.

Izr 61 Za elemente podbaze c-topologije veljajo naslednje preproste lastnosti:

1. ⋂_{1}^{n} G(A_{i}, W) = G(⋃_{1}^{n} A_{i}, W );

2. ⋂_{1}^{n} G(A, W_{i}) = G(A, ⋂_{1}^{n} W_{i});

3. ⋂_{1}^{n} G(A_{i}, W_{i}) ⊂ G(⋃_{1}^{n} A_{i}, ⋃_{1}^{n} W_{i});

4. \overline{G(A, W)} ⊂ G(A, \overline{W}).

Izr 62 1. C(X, Y) je T_{2} ⟺ Y je T_{2}.

2. C(X, Y) je regularen ⟺ Y je regularen.

Izr 63 V c-topologiji je preslikava T : C(X, Y)×C(Y, Z) → C(X, Z), definirana z T (f, g) := g ∘ f zvezna v vsaki komponenti posebej. Če sta X in Z Hausdorffova ter je Y lokalno kompakten in Hausdorffov, je preslikava T zvezna.

Povezanost Def 33 Prostor (X, T ) je nepovezan, če je unija dveh nepraznih odprtih disjunktnih množic. V nasprotnem primeru je prostor X povezan. Podmnožica B ⊂ X je povezana, če je povezan podprostor (B, T_{B}). Izr 64 Edine povezane podmnožice realne osi so intervali (točke, poltraki, IR in omejeni nedegenerirani intervali). Izr 65 Naslednje izjave so ekvivalentne:

1. X je povezan.

2. Edini množici v X, ki sta hkrati odprti in zaprti sta ∅ in X.

3. Ne obstaja zvezna surjekcija iz Y na množico {0, 1} (z diskretno

topologijo). Izr 66 Zvezna slika povezanega prostora je povezana. Izr 67 Unija ⋃ A_{α} družine povezanih množic je povezana, če je presek ⋂ A_{α} neprazen. Izr 68 Bodi A povezana. Potem je tudi vsaka množica B, ki zadošča pogoju A ⊂ B ⊂ \overline{A}, povezana. Izr 69 Če je X povezan in f : X → IR zvezna funkcija, potem iz a, b ∈ f(X) sledi [a, b] ∈ f(X). Def 34 Bodi x ∈ X. Komponenta C(x) prostora X , ki vsebuje točko x je unija vseh povezanih množic, ki vsebujejo x. Izr 70 Komponente prostora so zaprte množice. Def 35 Prostor je popolnoma nepovezan, če za vsak x ∈ X velja C(x) = x. Def 36 Prostor je lokalno povezan, če ima bazo iz odprtih povezanih množic. Izr 71 Naslednje izjave so ekvivalentne:

1. X je lokalno povezan.

2. Za vsako okolico U(x) poljubne točke x ∈ X obstaja povezana okolica V (x), ki je vsebovana v U(x).

3. Vsaka točka v X ima bazični sistem povezanih okolic.

4. Komponente vsake odprte množice so odprte v X. Izr 72 Odprte (zaprte) zvezne preslikave ohranjajo lokalno povezanost.

Def 37 Pot je zvezna preslikava γ : I → X.

Def 38 Prostor X je s potmi povezan, če za vsaki dve točki x, y ∈ X obstaja pot γ, pri kateri je γ(0) = x in γ(1) = y, drugače povedano, če obstaja zvezna preslikava trojic γ : (I, 0, 1) → (X, x, y).

Def 39 Prostor X je lokalno s potmi povezan, če ima vsak točka bazo iz s potmi povezanih okolic.

Izr 73 Bodi x_{0} ∈ X poljuben. Tedaj: X je s potmi povezan ⟺ za vsak x ∈ X obstaja pot med x in x_{0}.

Izr 74 Vsak prostor, ki je povezan s potmi, je tudi povezan.

Izr 75 Naslednji izjavi sta ekvivalentni:

1. Vsaka komponenta glede na povezanost s potmi je odprta (in zato tudi zaprta).

2. Vsaka točka v X ima s potmi povezano okolico

Izr 76 X je povezan s potmi ⟺ X je povezan in vsak x ∈ X ima s potmi povezano okolico.

Izr 77 Bodi A odprta podmnožica IR^{n} (ali S^{n}). Tedaj: A je povezana ⟺ A je povezana s potmi.

Izr 78 1. Vsaka odprta podmnožica lokalno povezanega prostora. ja lokalno povezana

2. Komponente lokalno povezanega prostora so hkrati zaprte in odprte.

3. Komponente lokalno s potmi povezanega prostora so hkrati zaprte in odprte.

4. Lokalno povezan kompakten prostor ima končno mnogo komponent.

5. Vsaka odprta podmnožica v IR je disjunktna unija kvečjemu števno mnogo odprtih intervalov.

Cantorjeva množica

Izr 79 1. Vsak popolnoma nepovezan metričen kompakt brez izoliranih točk je homeomorfen Cantorjevi množici.

2. Vsak popolnoma nepovezan metričen kompakt lahko vložimo v Cantorjevo množico.

3. Na vsak kompakten metričen prostor obstaja zvezna surjekcija iz Cantorjeve množice.

Topološki produkti

Def 40 Bodi {(X_{α}, T_{a}lpha)| α ∈ A} družina topoloških prostorov. Produktna topologija je najšibkejša topologija na produktu X := ∏_{α} X_{α}, za katero so vse projekcije p_{α} : X → X_{α} zvezne.

Izr 80 1. Podbaza produktne topologije je {p_{α}^{−1}(U) | α ∈ A in U ∈ T_{α}}.

2. Družina vseh množic

⟨U_{α_{1}}, …, U_{α_{n}}⟩ = {(x_{α}) ∈ ∏ X_{α} | x_{α_{i}} ∈ U_{α_{i}}, i = 1, …, n},

kjer so U_{α_{i}} odprte podmnožice X_{α_{i}}, je baza produktne topologije.

3. A_{α} ⊂ X_{α} za vse α ∈ A ⟹ \overline{∏_{α} A_{α}} = ∏_{α} \overline{A_{α}}.

4. A_{α} ⊂ X_{α} za vse α ∈ A ⟹ produktna topologija na ∏ A_{α} je enaka topologiji, ki jo na množici ∏ A_{α} inducira produktna topologija na ∏ X_{α}.

Izr 81 1. Projekcije p_{β} : ∏ X_{α} → X_{β} so zvezne odprte surjekcije.

2. Preslikava f : X → ∏_{αinA} Y_{α} je zvezna ⟺ Za vsak α ∈ A je preslikava p_{α} ∘ f zvezna.

Izr 82 1. Bodi {Y_{α} | α ∈ A} družina topoloških prostorov in {A_{μ} | μ ∈ M} particija množice A (A je disjunktna unija množic A_{μ}). Za vsak μ naj bo Z_{μ} = ∏{Y_{α} | α ∈ A_{μ}}. Tedaj je ∏_{α} Y_{α} ≈ ∏_{μ} Z_{μ}.

2. Bodita {X_{α} | α ∈ A} in {Y_{β} | β ∈ B} dve družini prostorov in φ : A → B bijekcija. Tedaj iz X_{α} ≈ Y_{φ(α)} za vsak α ∈ A sledi ∏_{α} X_{α} ≈ ∏_{β} Y_{β}.

Topologija na algebraičnih strukturah

Def 41 Topološka grupa G je množica, opremljena s topologijo in s strukturo grupe, pri čemer sta grupni operaciji množenje · : G × G → G in invertiranje ()^{−1} : G → G zvezni preslikavi.

Izr 83 1. Leva translacija L_{a}(x) := a·x in desna translacija R_{a}(x) := x·a sta homeomorfizma. Topološka grupa je homogen topološki prostor.

2. Topološki produkt topoloških grup je topološka grupa.

Def 42 Linearen topološki prostor (LTP) je množica, opremljena s topologijo in s strukturo vektorskega prostora, pri čemer sta seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem zvezni preslikavi. Privzamemo, da so skalarji realna ali kompleksna števila.

Izr 84 Bodi X n-razsežen vektorski prostor nad obsegom F. Potem velja:

1. Obstaja natanko ena topologija na X, za katero je X Hausdorffov LTP. Vsaki dve normi na X sta ekvivalentni.

2. S topologijo iz točke (1) je X linearno homeomorfen F^{n}.

3. Za vsak LTP Y nad obsegom F so vse linearne preslikave X → Y zvezne.

Def 43 Klasične topološke grupe:

1. Splošna linearna grupa GL(n, F) je grupa vseh obrnljivih matrik velikosti n × n nad obsegom F. Topologija je porojena z operatorsko normo.

2. Specialna linearna grupa SL(n, F) je grupa vseh obrnljivih matrik velikosti n × n nad obsegom F z determinanto 1.

3. Ortogonalna grupa: O(n) := {A ∈ GL(n, IR) | A^{T} A = I}.

4. Specialna ortogonalna grupa: SO(n) := {A ∈ O(n) | det A = 1}.

5. Unitarna grupa: U(n) := {U ∈ GL(n, CC) | U^{∗}U = I}.

6. Specialna unitarna grupa: SU(n) := {U ∈ U(n) | det U = 1}.

Zvezne realne funkcije

Izr 85 (Urysohn) Bodi Y ∈ T_{2}. Tedaj sta ekvivalentni naslednji izjavi:

1. Y je normalen.

2. Za vsaki dve disjunktni zaprti množici A in B obstaja zvezna funkcija f : Y → IR z lastnostmi:

a) 0 ≤ f(y) ≤ 1 za vse y ∈ Y;

b) f(a) = 0 za vse a ∈ A;

c) f(b) = 1 za vse b ∈ B.

Drugače povedano, obstaja preslikava f : (Y, A, B) → (I, 0, 1).

Def 44 Prostor Y je absolutni ekstenzor za razred topoloških prostorov X (pišemo “Y je AE(X)”), če velja: za vsak X ∈ X in za poljubno zaprto podmnožico A ⊂ X lahko vsako zvezno preslikavo f : A → Y zvezno razširimo na X – to pomeni, da obstaja zvezna preslikava F : X → Y, F |_{A} = f.

Izr 86 (H. Tietze) Vsak interval je absolutni ekstenzor za razred normalnih topoloških prostorov. Drugače povedano, če je A zaprt podprostor normalnega prostora X, potem vsako preslikavo f : A → I lahko razširimo do preslikave F : X → I (F |_{A} = f).

Izr 87 Bodi {Y_{α} | α ∈ A} družina prostorov. Tedaj: ∏ Y_{α} je AE(X) ⟺ Y_{α} je AE(X) za vse α ∈ A.

Izr 88 IR^{n}, I^{n} in I^{∞} so absolutni ekstenzorji za normalne prostore.

Izr 89 (Urysohnov metrizacijski izrek) V 2-števnem prostoru sta regularnost in metrizabilnost ekvivalentni.

Def 45 Za podalgebro A funkcij v C(X, Y) pravimo, da loči točke, če za različna x, x′ ∈ X obstaja f ∈ A, za katero velja f(x) ≠ f(x′).

Izr 90 (Stone-Weierstrassov izrek) Naj bo prostor X kompakten in A podalgebra v C(X, IR), ki loči točke in vsebuje konstante. Potem je A gosta v C(X, IR) (s kompaktno-odprto topologijo).

Kvocientni prostori

Def 46 Naj bo X topološki prostor, ∼ ekvivalenčna relacija na X in q : X → X/ ∼ funkcija, ki vsakemu x ∈ X priredi njegov ekvivalenčni razred glede na relacijo ∼. Kvocientna topologija na množici X/ ∼ je podana z zahtevo: U ⊆ X/∼ je odprta ⟺ q^{−1}(U) je odprta v X. Množici X/∼ s kvocientno topologijo pravimo kvocientni prostor prostora X po relaciji ∼.

Izr 91 Če je f : X → Y zvezna in je ∼ taka ekvivalenčna relacija na X, da iz x ∼ x′ sledi f(x) = f(x′), potem obstaja natanko ena zvezna preslikava \overline{f} : X/∼ → Y, za katero je f = \overline{f} ^{∘}q. Drugače povedano f ^{∘}q^{−1},: X/∼ → Y je dobro definirana in zvezna. Poleg tega velja:

a) \overline{f} je surjektivna ⟺ f je surjektivna.

b) \overline{f} je injektivna ⟺ (x ∼ x′ ⟺ f(x) = f(x′)) za vse x, x′ ∈ X.

Def 47 Preslikava f : X → Y je kvocientna, če je zvezna, surjektivna in velja: V ⊆ Y je odprta ⟺ f^{−1}(V) ⊆ X je odprta.

Izr 92 Vsaka odprta ali zaprta zvezna surjekcija je kvocientna.

Izr 93 Če je f : X → Y kvocientna in je f ^{∘}q^{−1} : X/ ∼ → Y dobro definirana in injektivna, potem je f ^{∘}q^{−1} homeomorfizem.

Izr 94 Če je f : X → Y kvocientna in je A ⊂ X, potem je f : A → f(A) kvocientna, če je izpolnjen vsaj eden izmed pogojev:

1. f je odprta ali zaprta preslikava.

2. A je odprt ali zaprt podprostor v X.

Def 48 Naj bo A ⊆ X in f : A → Y zvezna. Zlepek X ∪_{f} Y je kvocientni prostor topološke vsote X ∐ Y po najmanjši ekvivalenčni relaciji ∼, za katero je a ∼ f(a) za vse a ∈ A.

Izr 95 Če sta X, Y normalna, A ⊆ X zaprta in f : A → Y zvezna, potem je X ∪_{f} Y tudi normalen.

Homotopija

Def 49 Preslikavi f, g : X → Y sta homotopni, če obstaja zvezna preslikava H : X × I → Y ∋: H(x, 0) = f(x) in H(x, 1) = g(x). Preslikava H se imenuje homotopija, homotopnost dveh preslikav pa označimo z f ≃ g.

Def 50 Pravimo, da je preslikava f nulhomotopna, če je homotopna kaki konstantni preslikavi. Prostor X je kontraktibilen, če je id_{X} nulhomotopna.

Izr 96 1. Homotopnost je ekvivalenčna relacija.

2. Iz f ≃ f′ in g ≃ g′ sledi f ∘ g ≃ f′ ∘ g′.

3. Bodi A ⊂ X. Tedaj: f ≃ g ⟹ f|_{A} ≃ g|_{A}.

4. Preslikavi f, g : X → ∏ Y_{α} sta homotopni ⟺ p_{α} ∘ f ≃ p_{α} ∘ g za vse α.

Izr 97 V prostoru C(X, Y) s kompaktno-odprto topologijo velja:

1. f ≃ g ⟹ f in g ležita v isti komponenti prostora C(X, Y) za povezanost s potmi.

2. f in g ležita v isti komponenti za povezanost s potmi in je Y lokalno kompakten T_{2} ali 1-števen T_{2} ⟹ f ≃ g.

Izr 98 Vsaka preslikava, ki slika iz ali v linearen topološki prostor, je nulhomotopna.

Izr 99 Če preslikavi f, g : X → S^{n} nista antipodni (tj. za vsak x je f(x) ≠ −g(x)), potem sta homotopni. Nesurjektivna preslikava X → S^{n} je nulhomotopna.

Osnovni izreki topologije evklidskih prostorov

Izr 100 Ekvivalentne formulacije Brouwerjevega izreka o fiksni točki:

1. Vsaka zvezna preslikava enotske krogle B^{n} vase ima fiksno točko.

2. Sfera S^{n−1} ni retrakt krogle B^{n}.

3. Sfera S^{n−1} ni kontraktibilna.

Izr 101 (Jordan-Brouwerjev izrek) Če je S^{n−1} ≈ S ⊂ IR^{n}, potem ima IR^{n} − S natanko dve komponenti, eno omejeno in eno neomejeno in obe imata S za mejo. Ekvivalentna verzija: Če je S^{n−1} ≈ S ⊂ S^{n}, potem ima S^{n} − S natanko dve komponenti in obe imata S za mejo.

Izr 102 (Brouwerjev izrek o invarianci odprtih množic) Če je U odprta množica v IR^{n}, potem je vsaka zvezna injekcija iz U v IR^{n} odprta preslikava.

Izr 103 Če sta A, B ⊆ IR^{n} in je h : A → B homeomorfizem, potem je h(Int A) = Int B in h(A ∩ Fr A) = B ∩ Fr B.

Izr 104 (Schönfliesov izrek) Če je S^{1} ≈ S ⊂ IR^{2} in je D omejena komponenta v IR^{2}−S, potem obstaja homeomorfizem f: (IR^{2}, D, S) ⟶^{≈} (IR^{2}, B^{2}, S^{1}).

Def 51 Topološka k-sfera je prostor homeomorfen S^{k}. Topološka k-sfera S ⊂ IR^{n} (k < n) je lokalno ploščata v x ∈ S, če obstaja odprta okolica U ⊂ IR^{n} za x, odprta množica V ⊂ IR^{n} in homeomorfizem f : (U, U ∩ S) ⟶^{≈} (V, V ∩(IR^{k} ×0^{n−k})). Sfera je lokalno ploščata, če je lokalno ploščata v vsaki svoji točki.

Izr 105 (Posplošeni Schönfliesov izrek) Če je topološka sfera S^{n−1} ≈ S ⊂ IR^{n} lokalno ploščata in je D omejena komponenta v IR^{n} − S, potem obstaja homeomorfizem f : (IR^{n}, D, S) ⟶^{≈} (IR^{n}, B^{n}, S^{n−1}).

Kompleksi in poliedri

Def 52 Politop je kompaktna podmnožica v IR^{n}, ki je presek končnega števila polprostorov. Politopni kompleks K v IR^{n} je množica politopov, ki ustreza naslednjim pogojem:

1. τ ≤ σ in σ ∈ K ⇒ τ ∈ K;

2. τ, σ ∈ K ⇒ τ ∩ σ je lice σ in τ;

3. politopi iz K so lokalno končno pokritje telesa |K| kompleksa K (telo kompleksa K je |K| := ∪{σ | σ ∈ K}).

Kompleks K je simplicialni kompleks, če so vsi njegovi politopi simpleksi.

Izr 106 Podmnožica A ⊆ |K| je zaprta ⟺ A∩σ je zaprta za vse σ ∈ K.

Izr 107 Funkcija f : |K| → X iz politopnega kompleksa v topološki prostor je zvezna ⟺ f|_{σ} : σ → X je zvezna za vse σ ∈ K.

Def 53 P ⊆ IR^{n} je polieder, če je telo kakega politopnega kompleksa. Topološki polieder je prostor, homeomorfen poliedru.

Def 54 Politopni kompleks K′ je subdivizija politopnega kompleksa K, če velja |K′| = |K| in vsak politop iz K′ leži v kakem politopu iz K. Izr 108 Vsak politopni kompleks ima simplicialno subdivizijo. Izr 109 1. Presek poliedrov je polieder.

2. Unija poliedrov s kompaktnim presekom je polieder.

3. Produkt poliedrov je polieder. Njegovo naravno politopno strukturo

podajajo produkti celic. Def 55 Preslikava poliedrov f : P → Q je kosoma linearna (PL), če ima P tako celulacijo K, da je f|_{σ} : σ → Q afina za vse σ ∈ K. Def 56 Naj bo K končen politopni kompleks in naj bo N_{j}(K) število politopov dimenzije j v K. Eulerjeva karakteristika kompleksa K je χ(K) := ∑_{j=0}^{∞}(−1)^{j}N_{j}(K) (vsota je končna). Eulerjeva karakteristika poliedra je Eulerjeva karakteristika kake njegove celulacije (definicija je neodvisna od izbire celulacije). Izr 110 Za poliedra P in Q velja:

1. χ(CP) = 1;

2. χ(ΣP) = 2 − χ(P);

3. χ(P × Q) = χ(P)χ(Q).

Mnogoterosti Def 57 Topološka mnogoterost razsežnosti n je 2-števen Hausdorffov prostor M, pri katerem za vsako točko x ∈ M obstaja odprta okolica U ⊂ M, ki je homeomorfna IR^{n}, ali pa IR_{+}^{n}. Def 58 Notranjost n-mnogoterosti: Int M := množica vseh x ∈ M, ki imajo kako okolico, homeomorfno IR^{n}. Rob n-mnogoterosti: ∂M := M − Int M. Mnogoterost je sklenjena, če je kompaktna in brez roba. Izr 111 1. Odprta podmnožica n-mnogoterosti je n-mnogoterost.

2. Komponenta n-mnogoterosti je n-mnogoterost.

3. (Največ števna) unija n-mnogoterosti je n-mnogoterost.

4. Rob n-mnogoterosti je (n − 1)-mnogoterost brez roba.

5. Produkt m-mnogoterosti M in n-mnogoterosti N je (m + n)-mno-goterost M × N z Int(M × N) = Int M × Int N in ∂(M × N) = (∂M × N) ∪ (M × ∂N).

Izr 112 (Homogenost mnogoterosti) Če je M povezana n-mnogoterost in x, y ∈ Int M, potem obstaja homeomorfizem h : (M, x) ⟶^{≈} (M, y).

Izr 113 (Izrek o implicitni funkciji) Naj bo U ⊆ IR^{n} odprta, f : U → IR^{m} (m ≤ n) zvezno odvedljiva in točka y ∈ f(U) taka, da je rang Jacobijeve matrike J (f) enak m (torej maksimalen) v vseh točkah f^{−1}(y). Potem je f^{−1}(y) (gladka) mnogoterost dimenzije m.

Izr 114 Vsaka povezana 1-mnogoterost je homeomorfna natanko eni izmed IR, IR_{+}, I, S^{1}.

Def 59 Ploskev je povezana 2-mnogoterost.

Izr 115 Vsaka ploskev je homeomorfna kaki poliedrski ploskvi (drugače povedano, vsako ploskev se da triangulirati).

Izr 116 (Klasifikacija sklenjenih ploskev) Topološki tip sklenjene ploskve je enolično določen z njeno orientabilnostjo in Eulerjevo karakteristiko. Vsaka sklenjena ploskev je homeomorfna natanko eni izmed naslednjih standardnih ploskev:

– sfera S: orientabilna, χ(S) = 2;

– povezana vsota n torusov nT: orientabilna, χ(nT) = 2 − 2n;

– povezana vsota n projektivnih ravnin nP: neorientabilna, χ(nP) = 2 − n.

Izr 117 (Klasifikacija kompaktnih ploskev) Topološki tip kompaktne ploskve je enolično določen z njeno orientabilnostjo, Eulerjevo karakteristiko in številom robnih komponent. Vsaka kompaktna ploskev M je homeomorfna ploskvi, ki jo dobimo, če eni izmed standardnih sklenjenih ploskev izrežemo toliko diskov, kolikor ima ploskev M robnih komponent.

Izr 118 Vsako kompaktno ploskev z nepraznim robom lahko predstavimo kot ‘disk s trakovi’.

Topološke lastnosti

Izr 119 Podali bomo še kratek pregled pogojev, pri katerih se ohranjajo nekatere topološke lastnosti:

• Pomen okrajšav: her = hereditarna; mult = multiplikativna; zap = zaprta; odp = odprta; zv = zvezna; surj = surjektivna; bij = bijektivna; štev = števna; konč = končna.

• Posebne okrajšave:

– zap-her = se ohranja pri zaprtih podprostorih; odp-her = se ohranja pri odprtih podprostorih; zap-bij = se ohranja pri zaprtih bijekcijah.

– mult(p) = se ohranja pri produktih, če imajo vsi razen končno mnogo faktorjev lastnost p.

Lastnost  se ohranja pri …
T_{1}  her, mult
T_{2}  her, mult, zap-bij
T_{3}  her, mult

T_{4}

1-števen  her, štev-mult
2-števen  her, štev-mult, odp-zv-surj
separabilen  zv, odp-her, štev-mult
regularen  her, mult
normalen  zap-zv-surj, zap-her
diskreten  her, konč-mult
kompakten  mult, zv, zap-her
lok. kompakten  odp-zv, mult(kompakten)
metrizabilen  her, štev-mult
povezan  mult, zv
lok. povezan  mult(povezan), odp-zv, zap-zv
povezan s potmi  mult, zv
lok. povezan s potmi  konč-mult, odp-zv, zap-zv
popolnoma nepovezan  konč-mult

Topološki prostori

1.1 Topološka struktura na množici

1.^{R} Naj bo X poljubna množica. Dokaži, da je družina T := {∅} ∪ {A ⊂ X | A^{c} je končna} topologija na X (imenujemo jo topologija končnih komplementov).

2.^{R} Naj bosta (X, T ) in (Y, U) poljubna topološka prostora. Ali je družina

V := {A × B | A ∈ T , B ∈ U} topologija na X × Y ? 3.^{R} Na ravnini IR^{2} definiramo štiri topologije T_{i}, i = 1, 2, 3, 4 na naslednji

način: v T_{i} naj bo množica U ⊂ IR^{2} odprta, če za vsako točko (x, y) ∈ U obstaja tak ϵ > 0, da je T_{1} : {(u, v) ∈ IR^{2}| (x − u)^{2} + (y − v)^{2} < ϵ^{2}} ⊂ U; T_{2} : {(u, v) ∈ IR^{2}| max{|x − u|, |y − v|} < ϵ} ⊂ U; T_{3} : {(u, v) ∈ IR^{2}| max{|x − u|, |y − v|} ≤ ϵ, x ≤ u, y ≤ v} ⊂ U; T_{4} : {(u, v) ∈ IR^{2} | (x − u)^{2} + (y − v)^{2} < ϵ^{2}, y ≤ v} ⊂ U. Dokaži:

a) Topologiji T_{1} in T_{2} sta enaki.

b) Topologija T_{2} je strogo šibkejša od topologij T_{3} in T_{4}.

c) Topologiji T_{3} in T_{4} nista ekvivalentni. Katera je močnejša? 4.^{R} Ali so pravilne naslednje trditve o topološkem prostoru (X, T )? a) Za vsak S ⊂ X velja Int S = Int \overline{S}.

b) Za vsako odprto množico U ⊂ X velja U = Int \overline{U}.

c) Za vsak S ⊂ X velja Fr(\overline{S}) ⊂ Fr(S).

5. Poišči stekališča in izolirane točke naslednjih podmnožic evklidskega prostora: a)^{R} A := \{(\frac{1}{n} − 1)^{n} | n ∈ IN\} ⊂ IR.

b) A := {(cos 2πnt, sin 2πnt) | n ∈ IN} ⊂ IR^{2}, t ∈ IR. 6.^{L} Poišči zaporedje v IR, ki ima natanko eno stekališče, nima pa limite. 7.^{R} Naj bo A gosta podmnožica prostora X in U odprta v X. Dokaži:

U ⊂ \overline{A ∩ U}. 8.^{R} Naj bo X := [−1, 1]^{n} ⊆ IR^{n}. Definiramo funkcijo d : X × X → IR z

d(x, y) := \{ \begin{matrix}0 & , x = y \\ ∥x∥ + ∥y∥ & , x ≠ y \end{matrix}

a) Pokaži, da je d metrika na X.

b) Poišči vse izolirane točke prostora (X, d). 9.^{R} Naj bo f : IR_{+} → IR_{+} zvezna nepadajoča preslikava z lastnostmi:

f(s) = 0 ⇔ s = 0 in f(s + t) ≤ f(s) + f(t).

Za poljuben metrični prostor (X, d) definiramo funkcijo δ : X × X → IR_{+} z δ(x, y) := f(d(x, y)).

a) Dokaži, da je δ metrika na X, ki je ekvivalentna metriki d.

b) Pokaži, da na metričnem prostoru (X, d) lahko vedno izberemo

metriki d ekvivalentno metriko δ, v kateri je X omejen. 10.^{R} Na množici X vseh kompleksnih zaporedij, ki konvergirajo proti 0,

definiramo

d((x_{k}), (y_{k})) := sup_{k} |x_{k} − y_{k}|.

Dokaži, da je d metrika na X in da je (X, d) poln prostor.

11. Naj bo dana funkcija c : PX → PX z naslednjimi lastnostmi: i) c(∅) = ∅ ii) A ⊂ c(A) iii) c(c(A)) = c(A) iv) c(A ∪ B) = c(A) ∪ c(B)

Dokaži, da obstaja natanko ena topologija na X, za katero je c operator zaprtja (primerjaj izrek 3. iz uvodnega poglavja).

Poskušaj dokazati tudi izreke 4.-7. iz uvodnega poglavja.

12.^{Z} Naj bo K := CC[X_{1}, …, X_{n}] algebra polinomov n spremenljivk s kompleksnimi koeficienti. Poljubni polinom p ∈ K lahko gledamo kot funkcijo p : CC^{n} → CC. Za A ⊂ CC^{n} definiramo

A^{⊥} := {p ∈ K | ∀x ∈ A : p(x) = 0}

in podobno, za L ⊂ K

L^{⊥} := {x ∈ CC^{n} | ∀p ∈ L : p(x) = 0} .

Za A ⊂ CC^{n} definiramo c(A) := (A^{⊥})^{⊥}.

a) Dokaži, da je c operator zaprtja na CC^{n}. (Topologijo, ki jo porodi imenujemo topologija Zariskega).

b) Kakšna je topologija Zariskega na CC?

13.^{Z} Pojem bližine - topologijo - lahko včasih naravno vpeljemo tudi v primerih, ko njen obstoj ni očiten. Naj bo K komutativen kolobar z enoto in naj bo P družina njegovih pravih praidealov (glej [13]). Za poljubno podnmožico A ⊂ K vpeljemo V (A) := {P ∈ P | A ⊂ P }.

a) Dokaži, da družina vseh podmnožic P oblike V (A), za A ⊂ K, ustreza aksiomom zaprtih množic. (S tako porojeno topologijo postane P topološki prostor, ki ga imenujemo spekter kolobarja K in označujemo Spec(K).)

b) Poišči kakšno bazo te topologije. Opiši odprte množice prostora Spec(K).

c) Opiši Spec(K), če je K = ZZ, ZZ[x], IR[x], CC[x].

(Več o topoloških prostorih iz zadnjih dveh nalog lahko najdete v nalogah k prvem poglavju knjige M.F.Atiyah, I.G.Macdonald: Introduction to Commutative Algebra.)

1.2 Zvezne preslikave

14.^{L} Naj bosta T_{1} in T_{2} topologiji na množici X in naj bo Y poljuben topološki prostor. Če je topologija T_{1} šibkejša od topologije T_{2}, potem je C((X, T_{1}), Y) ⊆ C((X, T_{2}), Y) in C(Y, (X, T_{2})) ⊆ C(Y, (X, T_{1})). Dokaži.

15.^{L} Dokaži, da so naslednje funkcije homeomorfizmi:

a)

(−1, 1) \overrightarrow{⟵}_{g}^{f} IR

f(x) := \frac{x}{\sqrt{1 − x^{2}}} , g(x) := \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}

b)

Int B^{n} \overrightarrow{⟵}_{g}^{f} IR^{n}

f(x) := \frac{x}{\sqrt{1 − ∥x∥^{2}}} , g(x) := \frac{x}{\sqrt{1 + ∥x∥^{2}}}

c)

S^{n} − \{(0, …, 0, 1)\} \overrightarrow{⟵}_{p}^{s} IR^{n}

s(x_{1}, …, x_{n+1}) := \frac{1}{1 − x_{n+1}} (x_{1}, …, x_{n}),

p(x) := ( \underbrace{\frac{2 x}{∥x∥^{2} + 1}}_{n komponent}, \frac{∥x∥^{2} − 1}{∥x∥^{2} + 1}).

(Preslikavo s imenujemo stereografska projekcija.) 16.^{R} Naj bo

X := {(x, y) ∈ IR^{2} | 1 < x^{2} + y^{2} < 9 in |x| > 0 če y > 0} .

Poišči kak eksplicitni homeomorfizem med X in IR^{2}. 17.^{R} Poišči eksplicitni homeomorfizem med S^{1} × I in kolobarjem

K := {(x, y) ∈ IR^{2} | 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4} .

18.^{R} Ali sta prostora K := {(x, y, z) ∈ IR^{3} | z^{2} = x^{2} + y^{2}, z > 0} in (−1, 1) × S^{1} homeomorfna ?

19. Dokaži:

a) IR^{2} − (0 × IR_{+}) ≈ IR^{2}.

b) IR^{n} − (0^{n−m} × IR_{+}^{m}) ≈ IR^{n} (0 < m ≤ n).

20.^{R} Naj bodo A, B, X, Y takšni podprostori v IR^{2}, da je A gost v X, B gost v Y in da je A ≈ B.

a) Ali je X ≈ Y ?

b) Ali je \overline{X} ≈ \overline{Y} ?

21.^{R} Ali so naslednje funkcije zvezne, zaprte ali odprte?

a) f : IR → IR, f(x) := x − [x] ([x] je največje celo število, manjše ali enako x)

b) f : IR^{2} → IR, f(x, y) := sin(x^{2} + y^{2})

c) f : IR → IR, f(x) := e^{x} cos x

22. Naj bosta X in Y topološka prostora. Dokaži, da je funkcija f : X → Y zvezna in zaprta natanko tedaj, ko za vsak A ⊂ X velja f(\overline{A}) = \overline{f(A)}.

23. Naj bosta X in Y topološka prostora. Dokaži, da je funkcija f : X → Y odprta natanko takrat, ko za vsak A ⊂ X velja f(Int A) ⊂ Int f(A).

24. Naj bosta f : X → Y in g : Y → Z taki zvezni preslikavi, da je preslikava g ∘ f odprta. Pokaži:

a) Če je f surjektivna, potem je g odprta.

b) Če f ni surjektivna, potem g ni nujno odprta.

25. Funkcija f : X → IR je navzgor polzvezna, če je za vsak a ∈ IR množica {x ∈ X | f(x) ≥ a} zaprta v X, in navzdol polzvezna, če je za vsak a ∈ IR množica {x ∈ X | f(x) ≤ a} zaprta. Dokaži:

a) Funkcija f je navzgor polzvezna, če in samo če je −f navzdol polzvezna.

b) Funkcija, ki je navzgor in navzdol polzvezna, je zvezna. c) Funkcija f je navzgor polzvezna, če in samo če za vsak x ∈ X

in ϵ > 0 obstaja okolica U točke x, da je f(y) < f(x) + ϵ za vse y ∈ U. Podobno je f navzdol polzvezna, če za vsak x ∈ X in ϵ > 0 obstaja okolica U točke x, da je f(y) > f(x) − ϵ za vse y ∈ U.

d)^{Z} Naj bo X prostor vseh realnih n×n matrik. Dokaži, da je funkcija

rang : X → IR navzdol polzvezna, ni pa zvezna.

e) Vsota dveh navzgor polzveznih funkcij je tudi navzgor polzvezna.

f) Če infimum družine navzgor polzveznih funkcij obstaja, potem je tudi sam navzgor polzvezen.

g) Za vsako omejeno realno funkcijo f na prostoru X obstaja najmanjša navzgor polzvezna funkcija \overline{f}, ki je večja od f (to je, \overline{f}(x) ≥ f(x) za x ∈ X).

1.3 Baze in podbaze

26.^{R} Naj bo X := IR ∪ {−∞, +∞}. Topologijo T na X definiramo tako, da za bazo vzamemo vse odprte intervale (a, b) ter vse množice oblike L_{a} := {x ∈ IR | x < a} ∪ {−∞} in D_{a} := {x ∈ IR | x > a} ∪ {+∞}.

a) Prepričaj se, da družina vseh (a, b), L_{a} in D_{a} za a, b ∈ IR tvori bazo neke topologije in da dobimo ekvivalentno topologijo, če za podbazo vzamemo vse množice oblike L_{a} in D_{a}.

b) Dokaži, da je (X, T ) ≈ [−1, 1].

c) Iz točke b) sklepamo, da je topologija T porojena iz neke metrike d. Poišči kakšno zaporedje, ki konvergira v metriki d, v običajni pa ne.

d) Dokaži, da je naravna inkluzija i : IR → X, i(a) := a vložitev.

V opisani topologiji lahko smiselno povemo, kdaj zaporedje (a_{n}) v IR ‘konvergira proti ±∞’, namreč takrat, ko vloženo zaporedje (i(a_{n})) konvergira proti +∞ ali proti −∞ v X.

27. V 1-števnih prostorih lahko delamo z zaporedji zato, ker je topologija 1-števnega prostora določena že s podatkom, katera zaporedja so konvergentna in kaj so njihove limite (primerjaj izreka 16. in 25. iz Uvoda). V prostorih, ki ne ustrezajo prvemu aksiomu števnosti, omenjena izreka nista nujno pravilna, kot lahko razberemo iz naslednjega zgleda. Naj bo X := IN × IN ∪ {(0, 0)} z naslednjo topologijo: U ⊂ X naj bo odprta, če zadošča enemu izmed naslednjih pogojev:

i) (0, 0) ∉ U, ali ii) (0, 0) ∈ U in ∃n_{0} ∈ IN ∀n > n_{0} : n × IN − U je končna množica.

Z besedami, v X so odprte tiste množice, ki ne vsebujejo točke (0, 0), in še tiste, ki točko (0, 0) vsebujejo in na skoraj vseh navpičnicah vsebujejo skoraj vse točke.

a)^{R} Prepričaj se, da zgornji predpis določa neko topologijo T na X. b)^{Z} Pokaži, da je točka (0, 0) v zaprtju IN × IN, vendar ni limita

nobenega zaporedja v IN × IN. c)^{R} Opiši vsa konvergentna zaporedja v X. d)^{L} Naj bo T′ diskretna topologija na X. Tedaj identična preslikava

(X, T ) → (X, T′) ohranja vse limite, ni pa zvezna. Dokaži.

Iz povedanega je jasno, da topologija T ne zadošča prvemu aksiomu števnosti.

28. Upoštevajmo oznake iz 13. naloge. Za k ∈ K vpeljemo B_{k} := Spec(K)−V ({k}). Pokaži, da je družina {B_{k}| k ∈ K, k ni delitelj niča} baza topologije prostora Spec(K).

29. Iz definicij separabilnosti ter 1- in 2-števnosti bi lahko ‘po občutku’ sklepali, da je prostor, ki je separabilen in 1-števen, tudi 2-števen. Vendar to ni res, kot bomo lahko razbrali iz naslednje naloge. Naj bo B := {[a, b) | a, b ∈ IR}. Dokaži:

a)^{L} Družina B je baza neke topologije T na IR. (Prostor (IR, T )

imenujemo Sörgenfreyeva premica.) b)^{L} Topologija T je močnejša od običajne topologije na IR. c)^{R} Prostor (IR, T ) je separabilen in 1-števen. d)^{Z} Prostor (IR, T ) ni 2-števen. e)^{R} Sörgenfreyeva premica ni metrizabilna.

30.^{R} Dokaži:

a) V separabilnem topološkem prostoru je vsaka družina paroma disjunktnih odprtih množic števna.

b) Množica izoliranih točk separabilnega prostora je največ števna.

31.^{L} Ali je množica iracionalnih števil IR − CQ z običajno (metrično) topologijo separabilna?

32. Na množici C(IR) zveznih realnih funkcij na IR definiramo topologijo tako, da za bazo okolic funkcije f : IR → IR vzamemo množice

G(f, K, ϵ) := {g ∈ C(IR) | |g(x) − f(x)| < ϵ za vse x ∈ K},

kjer je K poljubna končna podmnožica IR in ϵ > 0.

a)^{R} Pokaži, da družina vseh G(f, K, ϵ) ustreza pogojem za bazo topologije in da je konvergenca funkcij v tej topologiji ravno konvergenca po točkah.

b)^{Z} Pokaži, da tako dobljena topologija na C(IR) ni 1-števna. c)^{R} Dokaži, da dobimo isto topologijo, če za podbazo vzamemo vse

podmnožice

G(x, V) := {f ∈ C(IR) | f(x) ∈ V },

kjer je x ∈ IR in V ⊂ IR odprta.

Na podoben način lahko definiramo topologijo na C(X, Y) za poljubna topološka prostora X in Y. Za podbazo vzamemo vse množice oblike

G(x, V) := {f ∈ C(X, Y) | f(x) ∈ V },

kjer je x ∈ X in V ⊂ Y odprta.

d) Dokaži, da za neštevni metrični prostor X opisana topologija na C(X) ni 1-števna.

e) Dokaži, da je topologija konvergence po točkah na C(IN) 1-števna.

33. Če je prostor Y metričen, lahko njegovo metriko uporabimo za definicijo topologije na C(X, Y). Za vsako zvezno funkcijo f : X → Y in vsak ϵ > 0 definiramo G(f, ϵ) := {g ∈ C(X, Y) | sup d(f(x), g(x)) < ϵ}. Dokaži:

a) Množice G(f, ϵ) so baza neke topologije. Imenujemo jo topologija enakomerne konvergence.

b) Topologija enakomerne konvergence je močnejša od topologije konvergence po točkah (glej prejšnjo nalogo).

c) Prostor C(I) s topologijo enakomerne konvergence je metrizabilen.

1.4 Separacijski aksiomi

34.^{R} Naj bo X poljubna množica. Opiši najmanjšo topologijo T , za katero ima prostor (X, T ) lastnost T_{1}.

35.^{R} Topologija končnih komplementov ima nekatere nenavadne lastnosti:

a) Naj ima IN topologijo končnih komplementov. Poišči vse (!) li-

mite zaporedja

1, 4, 9, 16, …, n^{2}, …

b) Dokaži, da je vsak prostor X, ki ima topologijo končnih komplementov, separabilen.

36.^{Z} Dokaži, da v vsakem neskončnem Hausdorffovem prostoru obstaja neskončno zaporedje odprtih, nepraznih in paroma disjunktnih podmnožic.

37.^{R} Iz zaporedja separacijskih lastnosti T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} bi lahko sklepali, da so ‘nižje’ lastnosti posledica ‘višjih’, pa vendar ni povsem tako. Res je T_{2} ⇒ T_{1} ⇒ T_{0}, iz nobene izmed lastnosti T_{3} in T_{4} pa ne sledijo ostale. Preprost protiprimer je prostor z indiskretno topologijo (in več kot eno točko), ki sploh nima netrivialnih zaprtih množic in je torej avtomatično T_{3} in T_{4}, očitno pa ni T_{0}, T_{1} ali T_{2}. Nekoliko manj trivialen je naslednji primer: V množico X := IR×{0, 1} vpeljemo topologijo tako, da vzamemo za bazo družino {(a, b)×{0, 1} | a < b ∈ IR}

a) Preveri, da je opisana družina res baza neke topologije.

b) Pokaži, da ima prostor X lastnosti T_{3} in T_{4}, nima pa lastnosti T_{2}.

38.^{Z} Za a, b ∈ IN označimo z U_{a,b} naslednjo podmnožico v IN:

U_{a,b} := {an + b | n = 0, 1, 2, …} .

a) Dokaži, da je družina B := {U_{a,b} | a, b tuji} baza neke topologije na IN.

b) Ali je množica pIN := {pn | n ∈ IN} zaprta?

S pomočjo točk a) in b) lahko izpeljemo zanimiv dokaz, da je množica praštevil neskončna. Če bi namreč bila končna, tedaj bi bila unija vseh množic oblike pIN, za p praštevilo, zaprta v opisani topologiji. Njen komplement je singleton {1}, ki ni odprt (zakaj?). Protislovje. c) Dokaži, da je za opisano topologijo IN Hausdorffov prostor, ni pa

regularen.

1.5 Podprostori

39.^{Z} Splošna linearna grupa GL(n, IR) je množica vseh obrnljivih linearnih endomorfizmov prostora IR^{n}. Množico GL(n, IR) pogosto identificiramo z množico vseh obrnljivih n × n matrik. Lahko jo normiramo na (vsaj) dva načina: z operatorsko normo, ali pa tako, da jo gledamo kot topološki podprostor v IR^{n^{2}}, v katerem vzamemo običajno, evklidsko normo.

a) Dokaži, da sta opisani normi ekvivalentni (topologijo, ki jo porodita, bomo v prihodnje imeli za standardno topologijo na splošni linearni grupi).

b) Dokaži, da je GL(n, IR) odprta in gosta v množici vseh linearnih operatorjev.

c) Dokaži analogne trditve tudi za GL(n, CC), množico vseh obrnljivih linearnih endomorfizmov prostora CC^{n}.

40. Na P := IR × IR_{+} definiramo topologijo z bazo B, ki jo sestavljajo vse množice oblike K((x, y), r) za x ∈ IR in 0 < r < y ∈ IR ter K((x, y), y) ∪ {(x, 0)} za x ∈ IR, 0 < y ∈ IR.

a)^{R} Prepričaj se, da je B res baza neke topologije na P. (Dobljeno topologijo imenujemo Niemytzkijeva topologija tangentnih diskov.) Kakšno topologijo inducira na podprostorih Q := IR × (IR_{+} − 0) in L := IR × 0?

b)^{R} Dokaži, da je prostor P s topologijo Niemytzkega regularen.

c)^{R} Prepričaj se, da je P separabilen, njegov podprostor L pa ni separabilen. Sklepaj, da P ni 2-števen.

d)^{T} Dokaži, da prostor P ni normalen. (Nasvet: pomagaj si z Baireovim izrekom, glej 59. nalogo.)

41. Naj bo {A_{λ} | λ ∈ Λ} lokalno končna družina podmnožic prostora X. Dokaži, da je tudi družina \{\overline{A}_{λ} | λ ∈ Λ\} lokalno končna.

42. a)^{R} Imejmo topološka prostora X in Y in naj bo {B_{λ}} odprto (ali pa lokalno končno, zaprto) pokritje za Y. Dokaži: če je f : X → Y takšna funkcija, da je za vsak λ restrikcija f|_{f^{−1}(B_{λ})} : f^{−1}(B_{λ}) → B_{λ} homeomorfizem, potem je f homeomorfizem.

b) Naj bo {B_{λ}} odprto pokritje za X in f : X → Y takšna funkcija, da je f|_{B_{λ}} : B_{λ} → f(B_{λ}) homeomorfizem. Ali je tedaj tudi f homeomorfizem?

Kompaktnost

2.1 Kompaktni metrični prostori

43.^{R} Naj bo {x_{n}} zaporedje v Hausdorffovem prostoru X, ki konvergira proti x ∈ X. Dokaži, da je množica A := {x_{n} | n ∈ IN} ∪ {x} kompaktna.

44.^{R} Družina odprtih krogel \{K(x, \frac{1}{100}) | x ∈ I^{2}\} je odprto pokritje kompaktnega prostora I^{2}. Poišči kakšno končno podpokritje in določi kakšno Lebesgueovo število dobljenega podpokritja.

45.^{L} Poišči pokritje enotskega intervala I z množicami, ki imajo neprazno notranjost, ki pa nima končnega podpokritja.

46. Funkcija f : S^{2} → S^{1} je podana z f(x, y, z) := (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, z). Določi kako število δ > 0, da za u, v ∈ S^{2} iz ∥u−v∥ < δ sledi ∥f(u)−f(v)∥ < \frac{1}{100}.

47. Naj bo (M, d) kompakten metričen prostor in naj bo f : M → M zvezna preslikava brez fiksnih točk. Dokaži, da obstaja tak c > 0, da je d(x, f(x)) ≥ c za vse x ∈ M.

48. Naj bo X kompakten metričen prostor in naj bo f : X → X izometrija. Dokaži, da je f homeomorfizem.

49.^{Z} Naj bo X kompakten metričen prostor in naj bo f : X → X zvezna. Dokaži, da obstaja neprazna podmnožica A ⊂ X, za katero je f(A) = A.

2.2 Kompaktni podprostori

50. Naj bo topološki prostor (X, T ) kompakten in Hausdorffov in naj bo U topologija na X, ki je strogo šibkejša kot T . Dokaži, da prostor (X, U) ni Hausdorffov.

51.^{R} Vsak podprostor prostora s topologijo končnih komplementov je kompakten. Dokaži.

52. Naj bo K kompakten in naj bo funkcija f : K → IR navzgor polzvezna (glej 25. nalogo). Dokaži, da f zavzame maksimum na K.

2.3 Preslikave kompaktnih prostorov

53.^{Z} Naj bo C ⊂ IR^{n} kompakten, konveksen podprostor z neprazno notranjostjo. Dokaži, da obstaja homeomorfizem

f : (IR^{n}, C, FrIR^{n}(C)) → (IR^{n}, B^{n}, S^{n−1}) .

(Navodilo: najprej konstruiraj homeomorfizem med robom C in S^{n−1}.) Pomen tega rezultata bomo dodatno pojasnili z naslednjimi dejstvi. Dokaži:

a) V IR^{n} obstajajo nehomeomorfne zaprte konveksne množice z neprazno notranjostjo.

b) Poljubni dve odprti konveksni množici v IR^{n} sta homeomorfni, vendar se homeomorfizma med njima v splošnem ne da razširiti na cel IR^{n}.

54.^{Z} Če na funkcijskem prostoru C(X, Y) (X, Y ∈ T_{2}) vzamemo za podbazo topologije vse množice oblike G(K, V) := {f ∈ C(X, Y) | f(K) ⊂ V }, kjer je K ⊂ X kompaktna in V ⊂ Y odprta, dobimo kompaktnoodprto topologijo. Za začetno predstavo premisli, kaj so podbazične in bazične množice kompaktno-odprte topologije v primeru X = Y = IR. Najprej bomo primerjali novo topologijo z že znanimi:

a) Če je prostor X diskreten, se topologija konvergence po točkah in kompaktno-odprta topologija ujemata, sicer pa je kompaktnoodprta topologija močnejša. Poišči primer, ko je strogo močnejša. b) Naj bo prostor Y metričen. Če je X kompakten, se kompaktno-

odprta topologija in topologija enakomerne konvergence ujemata, sicer pa je topologija enakomerne konvergence močnejša. Poišči kakšen primer, ko je strogo močnejša.

c) Funkcija F : Y → C(X, Y), definirana z (F y)(x) := y, je vložitev.

Separacijske lastnosti kompaktno-odprte topologije so določene s prostorom Y:

d) Prostor C(X, Y) je Hausdorffov, če in samo če je Y Hausdorffov.

e) Prostor C(X, Y) je regularen, če in samo če je Y regularen. (Navodilo: uporabi lokalno karakterizacijo lastnosti T_{3}, v ta namen najprej izpelji zvezo \overline{G(K, U)} ⊆ G(K, \overline{U}).)

f) Naj bo prostor Y metričen. Za zaporedje preslikav (f_{n} : X → Y) pravimo, da konvergira enakomerno po kompaktih proti preslikavi f : X → Y, če za vsak pozitiven ϵ in za vsak kompakt K ⊂ X obstaja tak N ∈ IN, da iz n > N sledi d(f(x), f_{n}(x)) < ϵ pri vseh x ∈ K. Prepričaj se, da je konvergenca v kompaktno - odprti topologiji ravno konvergenca po kompaktih.

g) Naj bo ∑_{i=0}^{∞} a_{i}z^{i} kompleksna potenčna vrsta s konvergenčnim radijem R. Dokaži, da zaporedje delnih vsot

s_{n}(z) := ∑_{i=0}^{n} a_{i}z^{i}

konvergira enakomerno na kompaktih proti funkciji

f(z) := ∑_{i=0}^{∞} a_{i}z^{i}

na K(0, R).

2.4 Lokalno kompaktni prostori

55.^{Z} Naj bo X lokalno kompakten, Y Hausdorffov in f : X → Y zvezna odprta surjekcija. Dokaži, da za vsako kompaktno množico K ⊂ Y obstaja kompaktna množica C ⊂ X, za katero je f(C) = K.

56. Naj bo X kompakten Hausdorffov prostor in A lokalno kompakten, gost podprostor v X. Dokaži, da je A odprt podprostor.

57.^{R} Naj bo {K_{λ}} lokalno končna družina kompaktnih podmnožic prostora X. Dokaži, da je ⋃_{λ} K_{λ} lokalno kompaktna.

58.^{Z} Naj bo prostor Y kompaktifikacija prostora X, to je, Y je kompakten in obstaja takšna vložitev h : X ↪ Y, da je h(X) gost v Y. Tedaj pravimo, da je Y kompaktifikacija prostora X s prostorom Y − h(X). Tako je, na primer, B^{2} kompaktifikacija ravnine s krožnico, medtem ko je S^{2} kompaktifikacija ravnine z (eno) točko. Poišči naslednje kompaktifikacije:

a) Premice s krožnico in eno točko.

b) Premice z dvema krožnicama.

c) Premice z eno krožnico.

Prijeme uporabljene v prejšnjih nalogah lahko preizkusimo tudi na ploskvah:

d) Pokaži, da je torus (oziroma prostor S^{1} × S^{1}) kompaktifikacija ravnine. S kakšnim prostorom?

Do sedaj so bili vsi naši poskusi, da bi kompaktificirali prostor s kakšnim drugim prostorom izvedljivi, vendar težave ki smo jih srečali, kažejo, da ta naloga mogoče ne bo vedno rešljiva.

e)^{T} Dokaži, da ne obstaja kompaktifikacija ravnine z dvema točkama. Natančneje, če je kak prostor kompaktifikacija ravnine s končno mnogo točkmi, potem je to nujno kompaktifikacija z eno točko!

f)^{T} Ali obstaja kompaktifikacija prostora IR^{3} s krožnico S^{1} ? (Nasvet: pomagaj si z nalogo 138.)

59.^{Z} Lokalno kompaktni prostori so v nekem smislu posplošitev polnih metričnih prostorov. V naslednji nalogi bomo poskušali to zvezo natančneje pojasniti.

a) Naj bo X poln metričen prostor in naj bo {U_{n} | n ∈ IN} družina odprtih, gostih množic v X. Dokaži, da je ⋂_{n=1}^{∞} U_{n} gosta v X.

b) Zakaj ne smemo opustiti pogoja, da so množice odprte ali da je presek števen?

c) Prilagodi dokaz točke a) za primer, ko je X lokalno kompakten Hausdorffov prostor. Natančneje, dokaži, da je števen presek množic, ki so odprte in goste v kakem lokalno kompaktnem prostoru X, tudi gost v X.

Prostore, ki imajo lastnost, da je presek poljubne števne družine odprtih, gostih množic tudi gost, imenujemo Bairovi prostori. Do sedaj smo videli, da so vsi polni metrični in vsi lokalno kompaktni prostori Bairovi. Preden si ogledamo njihove lastnosti, vpeljimo še nekaj novih pojmov: množica A ⊂ X je nikjer gosta, če je Int(\overline{A}) = ∅; A ⊂ X je prve kategorije, če je števna unija nikjer gostih množic, in druge kategorije sicer.

d) Katere izmed naslednjih množic so nikjer goste: IN v IR; CQ v IR; IN v CQ; CQ × CQ v IR^{2}; CQ × IN v IR^{2} ?

e) Dokaži, da ima v Bairovem prostoru vsaka množica prve kategorije prazno notranjost. Vsak Bairov prostor je torej druge kategorije.

2.5 Kompaktifikacija z eno točko

60.^{L} Ali obstajata nehomeomorfna topološka prostora, katerih kompaktifikaciji z eno točko sta homeomorfni?

61. Poišči primer lokalno kompaktnega Hausdorffovega prostora X in njegovega lokalno kompaktnega podprostora A, kjer se kompaktifikacija z eno točko A^{+} da vložiti v X^{+} in primer, kjer se ne da.

62.^{R} Poišči čim preprostejše podprostore v IR^{2}, ki so homeomorfni kompaktifikacijam z eno točko naslednjih prostorov:

a) X := \{(\frac{1}{n}, y) ∈ IR^{2} | n ∈ IN, y ∈ IR\};

b) Y := ⋃_{n=2}^{∞}\{(x, y) ∈ IR^{2} | |y| ≤ 1, |x| = 1 − \frac{1}{n}\};

c) Z := ⋃_{n=1}^{∞}{(x, y) ∈ IR^{2} | x^{2} + y^{2} = n^{2}}.

Povezanost

3.1 Povezanost in povezanost s potmi

63.^{L} Ali sta prostora

X := {(x, y) ∈ IR^{2} | x ∉ CQ ali y ∉ CQ}

in

Y := {(x, y) ∈ IR^{2} | x ∉ CQ in y ∉ CQ}

povezana?

64. Dokaži, da je množica vseh zveznih funkcij f : IR → IR z lastnostjo f(IR) ⊂ CQ števna.

65. Funkcija d : IR^{2} × IR^{2} → IR_{+} je definirana z

d(p, q) := \{ \begin{matrix}∥p − q∥ & če so točke 0^{2}, p, q kolinearne \\ ∥p∥ + ∥q∥ & sicer \end{matrix} ,

kjer je ∥ · ∥ običajna evklidska norma.

a) Dokaži, da je d metrika na IR^{2}.

b) Opiši bazične sisteme okolic za to metriko v poljubni točki ravnine. Kakšen je odnos med topologijo, porojeno z metriko d in običajno topologijo ravnine?

c) Ali je prostor (IR^{2}, d) povezan s potmi?

66. Dokaži, da ima vsak povezan metrični prostor z več kot eno točko neštevno mnogo točk.

67. Naj bo (M, d) povezan metričen prostor. Dokaži, da za poljubni točki x, y ∈ M obstaja z ∈ M, za katero je d(x, z) = d(y, z).

68. Naj bo prostor X povezan in naj bosta f, g : X → I zvezni surjekciji. Dokaži, da obstaja x ∈ X, za katerega je f(x) = g(x).

69.^{L} Ali je prostor X := \{(x, x · sin \frac{1}{x}) ∈ IR^{2}|x ∈ IR − 0\} ∪ \{(0, 0)\} povezan s potmi?

70. Naj bo prostor X povezan, Y ∈ T_{1} in naj bo f : X → Y lokalno konstantna preslikava (vsak x ∈ X ima okolico U, za katero je zožitev f na U konstantna). Dokaži, da je tedaj f konstantna.

71. Dokaži, da je prostor X povezan, če in samo če ima kolobar C(X) natanko en idempotent. (Neničelni element x kolobarja K je idempotent, če velja x^{2} = x.)

72.^{Z} Naj bo A števna podmnožica v IR^{2}. Dokaži, da je prostor IR^{2} − A povezan.

73. Poišči padajoče zaporedje povezanih množic, katerega presek ni povezan.

74. Dokaži: če povezana množica C ⊂ X seka množico A ⊂ X in hkrati njen komplement X − A, potem C seka tudi rob A.

75. Dokaži, da ne obstaja zvezna injekcija iz S^{1} v interval I. Natančneje, dokaži, da za preslikavo f : S^{1} → I, ki ni konstantna obstaja neskončno mnogo takih točk t ∈ I, da ima f^{−1}(t) več kot eno točko.

3.2 Komponente

76.^{Z} V 39. nalogi smo spoznali splošno linearno grupo, sedaj pa bomo obravnavali ostale klasične grupe, ki so njene podgrupe (glej definicijo 43. v uvodu). Dokaži:

a) O(1) ≈ {−1, 1}.

b) U(1) ≈ SO(2) ≈ S^{1}.

c) SU(2) ≈ S^{3}. d) Grupe SO(n), U(n) in SU(n) so povezane s potmi.

e) Grupa O(n) ima natanko dve med seboj homeomorfni komponenti.

f) Grupa GL(n, IR) ima dve komponenti, grupa GL(n, CC) pa je povezana.

77.^{Z} Za poljubna prostora X in Y je pomembno vprašanje, kdaj je prostor C(X, Y) (s kompaktno-odprto topologijo) povezan s potmi, oziroma kaj so njegove komponente. Analogno vprašanje si lahko zastavimo tudi za poljuben podprostor prostora C(X, Y). (V tej nalogi bo povezanost funkcijskega prostora pomenila povezanost s potmi, komponenta pa komponento za povezanost s potmi. Privzeli bomo tudi, da so vsi prostori vsaj lokalno kompaktni.)

a) Dokaži, da sta preslikavi f, g : X → Y v isti komponenti C(X, Y) natanko takrat, ko obstaja preslikava H : X × I → Y, za katero je f(x) = H(x, 0) in g(x) = H(x, 1) za poljuben x ∈ X. (Nasvet: pomagaj si z 90. nalogo.)

Če takšna preslikava H obstaja, jo imenujemo homotopija med preslikavama f in g, pišemo H : f ≃ g in pravimo, da sta preslikavi f in g homotopni.

b) Privzemimo, da sta preslikavi f_{1}, f_{2} : X → Y homotopni in prav tako preslikavi g_{1}, g_{2} : Y → Z. Dokaži, da sta homotopna tudi kompozituma g_{1} ^{∘}f_{1} in g_{2} ^{∘}f_{2}.

c) Dokaži, da je za poljuben prostor X prostor C(X, IR^{n}) povezan. Podobno, dokaži, da je prostor C(IR^{n}, Y) povezan, če je le prostor Y povezan s potmi. (Nasvet: pokaži, da so vse preslikave homotopne kaki izbrani konstantni preslikavi.)

Namesto IR^{n} bi lahko v prejšnji nalogi vzeli poljuben kontraktibilen prostor. Prostor X je kontraktibilen, če je prostor C(X, X) povezan.

d) Dokaži, da je X kontraktibilen natanko takrat, ko obstaja homotopija med id_{X} in kakšno konstantno preslikavo c : X → X.

e) Dokaži: če je X kontraktibilen in Y s potmi povezan, potem sta C(X, Y) in C(Y, X) povezana.

78.^{Z} Dokaži, da je prostor

P := {f ∈ C(B^{n}, B^{n}) | f je homeomorfizem in f|_{S^{n−1}} = id}

povezan s potmi kot podprostor v C(B^{n}, B^{n}).

79. Naj bosta f, g : X → S^{n} zvezni preslikavi, ki nista nikjer antipodni (pri vseh x ∈ X je f(x) ≠ −g(x)). Dokaži, da sta f in g homotopni.

80. Dokaži, da je vsaka preslikava f : X → S^{n}, ki ni surjektivna, homotopna kakšni konstantni preslikavi.

81.^{Z} V tej nalogi označimo s C običajno, ternarno Cantorjevo množico (glej [15]).

a) Dokaži, da je C popolnoma nepovezan metrični kompakt brez izoliranih točk.

Pomembnost Cantorjeve množice se izkaže v obratu točke a): Vsak popolnoma nepovezan metrični kompakt brez izoliranih točk je homeomorfen Cantorjevi množici (glej [15]), zato običajno vsakemu popolnoma nepovezanemu metričnemu kompaktu brez izoliranih točk pravimo Cantorjeva množica. Z uporabo tega izreka reši naslednje naloge:

b) Iz kvadrata I × I izrežemo križ s stranico \frac{1}{3} (to je, množico ((\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) × I) ∪ (I × (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}))). Iz preostalih štirih kvadratov spet izrežemo križe s stranico \frac{1}{9} in postopek nadaljujemo. Pokaži, da je prostor K, ki je presek prostorov, konstruiranih na vsakem koraku, homeomorfen Cantorjevi množici.

c) Velja C×C ≈ C. (Nasvet: lahko uporabiš izrek ali pa si pomagaš s točko b).)

d) Ali je C × {1, 2, …, n} ≈ C?

e) Ali je C × IN ≈ C?

f) Naj bo X popolnoma nepovezan metrični kompakt. Dokaži: X × C ≈ C.

g) Vsak popolnoma nepovezan metrični kompakt je homeomorfen kakšnemu podprostoru Cantorjeve množice. (Nasvet: pomagaj si s točko f).)

3.3 Lokalna povezanost

82.^{L} Poišči primer lokalno kompaktnega prostora, ki ni lokalno povezan.

83. Dokaži, da je vsaka odprta povezana množica v IR^{n} povezana s potmi. (Da se dokazati, da je povezana celo s poligonalnimi potmi.)

84.^{Z} Naj bo D dekompozicija prostora X, katere elementi so komponente za povezanost prostora X. Dokaži, da je kvocientni prostor X/D diskreten, kakor hitro je X lokalno povezan. Ali velja tudi obratna trditev?

Produkti

4.1 Topološki produkt končno faktorjev

85.^{R} Dokaži, da je prostor X Hausdorffov natanko tedaj, ko je diagonala D := {(x, x) | x ∈ X} zaprt podprostor v X × X.

86.^{R} Naj bo X poljuben, Y pa Hausdorffov prostor. Dokaži, da je graf Γ_{f} zvezne preslikave f : X → Y zaprt podprostor v X × Y.

87. Naj bosta prostora X in Y metrizabilna in poleg tega Y še kompakten. Dokaži, da je f zvezna, če je graf funkcije f : X → Y zaprt v X × Y. Ali bi znal dokazati trditev tudi brez privzetka, da sta X in Y metrizabilna? (Namig: pomagaj si z 89. nalogo.)

88.^{R} Dokaži, da je produkt dveh kontraktibilnih prostorov kontraktibilen.

89.^{Z}

a) Naj bo X poljuben, Y pa kompakten prostor. Dokaži, da je projekcija p : X × Y → X zaprta preslikava. (Torej, projekcija vzdolž kompaktnega faktorja je zaprta, čeprav v splošnem ni.)

b) Naj bo A ⊂ X poljuben, Y Hausdorffov, K ⊂ Y pa kompakten. Dokaži, da za vsako okolico U ⊃ A × K v X × Y obstaja takšna okolica V za A, da je V × K ⊂ U.

90.^{Z} Vsaki funkciji H : X × Y → Z naravno priredimo funkcijo Ĥ : X → C(Y, Z), s predpisom [Ĥ(x)](y) := H(x, y). Obratno, za vsako funkcijo Ĥ : X → C(Y, Z) lahko podamo H : X × Y → Z s H(x, y) := [Ĥ(x)](y). Če so X, Y, Z topološki prostori, vzamemo na X × Y produktno, na C(Y, Z) pa kompaktno-odprto topologijo. Dokaži:

a) Če je H zvezna, je tudi Ĥ je zvezna.

b) Če je prostor Y lokalno kompakten Hausdorffov in je Ĥ zvezna, je tudi H zvezna.

4.2 Topološki produkt neskončno faktorjev

91. Naj bo prostor P produkt števno mnogo popolnoma nepovezanih metričnih kompaktov (s po vsaj dvema točkama). Dokaži, da je P homeomorfen Cantorjevi množici. Izrek drži tudi za končne produkte z dodatno zahtevo, da je vsaj eden izmed faktorjev brez izoliranih točk. To je dokazano že v točki f) 81. naloge.

92.^{Z} Dokaži, da je produkt metričnih prostorov metrizabilen natanko takrat, ko v produktu nastopa največ števno netrivialnih faktorjev. (Nasvet: v eno smer dokazuj tako, da eksplicitno konstruiraš metriko na produktu, v drugo smer pa uporabi dejstvo, da 1-števnost ni multiplikativna lastnost.)

93. Naj bo X množica vseh zaporedij v CC. Ali obstaja takšna metrika d na X, da zaporedje (x^{(n)}) v X konvergira k x ∈ X natanko takrat, ko za vse k ∈ IN velja lim_{n→∞} d(x_{k}^{(n)}, x_{k}) = 0?

94.^{Z} Imejmo družino funkcij F = {f_{λ} : X → Y_{λ}} na poljubni množici X. Tedaj lahko definiramo funkcijo (imenovano evaluacija) iz X v kartezični produkt ∏_{λ} Y_{λ}:

F : X → ∏_{λ} Y_{λ}, določeno z p_{λ}(F (x)) := f_{λ}(x) .

Dokaži:

a) Funkcija F je injektivna, če in samo če za poljubna različna x, y ∈ X obstaja tak λ, da je f_{λ}(x) ≠ f_{λ}(y) (tedaj pravimo, da družina F loči točke).

b) Če so X in Y_{λ} topološki prostori in so vse funkcije f_{λ} zvezne, potem je tudi F zvezna (kot preslikava v topološki produkt).

4.3. ALGEBRSKE STRUKTURE NA TOPOLOŠKIH PROSTORIH 55

c) Preslikava F : X → F (X) je odprta, če za vsak x ∈ X in za vsak zaprt A ⊂ X, ki ne vsebuje x, obstaja tak λ, da f_{λ}(x) ∉ \overline{(f_{λ}(A))} (tedaj pravimo, da družina F loči točke od zaprtih množic). (Opozorilo: v splošnem F ni odprta kot preslikava iz X v ∏ Y_{λ}.)

Iz teh točk izpeljemo sklep, ki je bistvo opisane konstrukcije: če za T_{1} prostor X obstaja družina preslikav F, ki loči točke od zaprtih množic, potem je preslikava F vložitev!

4.3 Algebrske strukture na topoloških prostorih

95.^{Z} Dokaži, da so klasične grupe kompaktne topološke grupe.

96. Pokaži, da je Cantorjeva množica topološka grupa. (Nasvet: pomagaj si z 91. nalogo.)

97.^{Z} Dokaži naslednje trditve (LTP=linearni topološki prostor):

a) C(X) je s topologijo konvergence po točkah LTP.

b) C(X) je s kompaktno-odprto topologijo LTP.

c) C(IR) s topologijo enakomerne konvergence ni LTP.

98.^{Z} Prostor s kvadratom sumabilnih zaporedij l^{2} := {(x_{n}) ⊂ IR| ∑_{n=1}^{∞} x_{n}^{2} < ∞\}, s topologijo, porojeno z normo ∥(x_{n})∥ := \sqrt{∑_{n=1}^{∞} x_{n}^{2}} je LTP (pravzaprav je mnogo več: je separabilen metričen Hilbertov prostor).

a) Funkcija f : l^{2} → IRIN, definirana z f[(x_{n})] := (x_{n}), je zvezna, ni pa vložitev.

b) Prostor IIN ⊂ IRIN imenujemo Hilbertova kocka. Dokaži: IIN ≈ \{(x_{n}) ∈ l^{2}| |x_{n}| ≤ \frac{1}{n}\}.

c) Iz prejšnje naloge sledi, da lahko Hilbertovo kocko gledamo kot podprostor tako v l^{2}, kot v IRIN. Dokaži, da ima v obeh primerih Hilbertova kocka prazno notranjost.

99. Naj bo G topološka grupa. Dokaži naslednje trditve:

a)^{L} Za poljuben a ∈ G in poljubno okolico U enote je aU okolica točke a in obratno, vsaka okolica točke a je oblike aU za kako okolico U enote. b)^{R} Če je U poljubna okolica enote, tedaj je podgrupa grupe G,

generirana z elementi U, odprta v G. c)^{Z} Če je grupa G povezana, jo generira poljubna okolica enote. d)^{Z} Naj bo H podgrupa edinka v G, ki je hkrati diskretna kot pod-

prostor v G in naj bo G povezana. Tedaj je H vsebovana v centru G.

100. Naj bosta X in Y taka prostora, da sta njuni kompaktifikaciji z eno točko X^{+} in Y^{+} homeomorfni neki topološki grupi G. Dokaži, da je X ≈ Y.

101. Prepričaj se: če v grupi G vzamemo družino vseh podgrup edink za bazo okolic enote, dobimo topološko grupo. Podobno dobimo topološko grupo, če za bazo okolic enote vzamemo vse edinke končnega indeksa. Dokaži, da je topologija iz drugega primera Hausdorffova natanko takrat, ko je grupa G residualno končna. (Grupa G je residualno končna, če za vsak g ∈ G obstaja tak homomorfizem φ : G → K na končno grupo K, da je φ(g) ≠ 1.)

Zvezne realne funkcije

5.1 Eksistenca in razširjanje funkcij

102.^{R} Naj bo

X := {(x, y) ∈ IR^{2}|x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 1)}

in

A := {(x, 0)|x ∈ [−1, 1]}∪{(−1, y)|y ∈ [0, 1)}∪{(1, y)|y ∈ [0, 1)} ⊂ X .

Poišči retrakcijo r : X → A, ki je homotopna id_{X}.

103.^{R} Ali je prostor X := {(x, y) ∈ IR^{2} | y ∈ [−1, 1] ali |x| ≥ 1} kontraktibilen?

104. Dokaži, da je metrični prostor X kompakten natanko takrat, ko je vsaka zvezna preslikava f : X → IR omejena.

105. Dokaži, da C(X) ni cel kolobar, kakor hitro je X normalen prostor z več kot eno točko.

106. Naj bo X := B^{2} × {0} ∪ {0} × I ⊂ IR^{3}.

a)^{R} Konstruiraj eksplicitno retrakcijo B^{2} × I na X.

b) Dokaži, da je X absolutni ekstenzor za normalne prostore.

107. Naj bo X tak prostor, da ima vsaka preslikava f : X → X negibno točko in naj bo A retrakt prostora X. Dokaži, da ima tudi vsaka preslikava g : A → A negibno točko.

108.^{Z} Naj bo X normalen prostor, ki ima neštevno mnogo točk. Dokaži, da prostor C(X) s topologijo konvergence po točkah nima prve lastnosti števnosti.

109.^{Z} Vemo, da je podprostor normalnega prostora regularen, ni pa vedno normalen.

a) Naj bo A podprostor normalnega prostora X. Dokaži, da za vsako točko a ∈ A in zaprto množico F ⊂ A, ki ne vsebuje a, obstaja zvezna preslikava f : (A, a, F) → (I, 0, 1). (Nasvet: uporabi Urysohnovo lemo.)

Prostore, ki so T_{1} in imajo lastnost kot A v prejšnji točki, imenujemo popolnoma regularni prostori. Videli bomo, da je lastnost ‘biti podprostor normalnega prostora’ karakteristična za popolnoma regularne prostore. Takoj opazimo, da v popolnoma regularnem prostoru družina F vseh zveznih funkcij iz X v I loči točke od zaprtih množic (glej 94. nalogo).

b) S pomočjo 94. naloge dokaži, da lahko vsak popolnoma regularen prostor X vložimo v kak normalen prostor.

c) Naj bo B kakšna baza topologije normalnega prostora X. Za poljubna U, V ∈ B, za katera je \overline{U} ⊂ V, izberemo Urysohnovo funkcijo f : (X, \overline{U}, X −V) → (I, 0, 1). Dokaži, da družina F vseh tako dobljenih funkcij loči točke od zaprtih množic.

d) Naj bo X 2-števen normalen prostor. Dokaži, da je X metrizabilen.

Če upoštevamo, da je vsak regularen 2-števen prostor tudi normalen in da je vsak 2-števen metričen prostor separabilen, dobimo iz d) znameniti Urysohnov metrizacijski izrek: Prostor X je separabilen metričen prostor natanko takrat, ko je regularen in 2-števen (primerjaj izrek 89. iz Uvoda).

110.^{Z} Naj bo prostor X absolutni retrakt za normalne prostore. Dokaži, da je X povezan.

111.^{Z} Naj bosta K in F zaprta disjunktna podprostora lokalno kompaktnega Hausdorffovega prostora X in naj bo K kompakten. Dokaži, da obstaja taka zvezna funkcija f : X → I, da je f|_{K} = 0 in f|_{F} = 1.

112. Naj bo {U, V } odprto pokritje kvadrata I^{2} in naj bosta f : U → IR^{2} in g : V → IR^{2} zvezni preslikavi. Dokaži, da obstaja zvezna preslikava h : I^{2} → IR^{2}, za katero je f|_{(U−V)} = h|_{(U−V)} in g|_{(V −U)} = h|_{(V −U)}.

113. Naj bo X kompakten in povezan Hausdorffov prostor in naj bo A množica vseh funkcij f : X → IR, za katere funkcija \frac{1}{f} : X → IR obstaja in je zvezna.

a) Dokaži, da je A odprt podprostor v C(X).

b) Dokaži, da A ni gost v C(X). Če tega ne znaš dokazati v splošnem, poskusi vsaj za kakšen poseben primer.

114. Naj bo X prostor vseh polinomov na enotskem intervalu, opremljen s kompaktno-odprto topologijo. Katere separacijske lastnosti ima prostor X? Ali je kompakten, lokalno kompakten, povezan, lokalno povezan, povezan s potmi, 1-števen, 2-števen, separabilen?

5.2 Stone-Weierstrassov izrek

115.^{R} Dokaži, da prostor polinomov ni retrakt prostora C(I) vseh realnih zveznih funkcij na enotskem intervalu.

116.^{L} Ali je množica vseh konstantnih funkcij IR → IR gosta v prostoru C(IR), opremljenem s topologijo konvergence po točkah?

117.^{R} Ali je podprostor vseh polinomov gost v prostoru C(IR) (s topologijo enakomerne konvergence)?

118.^{Z} Naj bo f : IR → IR zvezna funkcija s periodo 2π. Dokaži, da za vsak ϵ > 0 obstaja takšna trigonometrijska funkcija

t(x) = a_{0} + ∑_{n=1}^{N}(a_{n} cos nx + b_{n} sin nx),

da je |f(x) − t(x)| < ϵ za vse x ∈ IR.

119.^{Z}

a) Pokaži, da Stone-Weierstrassov izrek ne velja za kompleksne funkcije. Natančneje, poišči kompakt K ⊂ CC in družino funkcij v C(K, CC), ki vsebuje konstante in loči točke, pa kljub temu podalgebra, generirana s to družino, ni gosta v C(K, CC). b) Naj bo K kompakt. Dokaži, da je vsaka podalgebra A ⊂ C(K, CC),

ki vsebuje konstante, loči točke in je zaprta za konjugiranje, gosta v C(K, CC). (Temu pravimo kompleksna verzija Stone-Weierstras-sovega izreka.)

Kvocientni prostori

6.1 Kvocientna topologija

120.^{R} V IR^{3} poišči podprostor, ki je homeomorfen kvocientnemu prostoru IR^{2}/S^{1}.

121.^{L} Ali je lahko kvocientni prostor nekompaktnega prostora kompakten?

122.^{R} Naj bo K kvadrat in D njegova diagonala. Poišči eksplicitni homeomorfizem med K/D in kakšnim podprostorom v IR^{2}.

123.^{L} Dokaži, da je za poljubna prostora X in Y prostor X kvocientni prostor produkta X × Y.

124.^{L} Poišči topološka prostora, ki nista homeomorfna, pa sta kljub temu ustrezna topološka stožca CX in CY homeomorfna. Poišči tudi primer topološkega prostora Z z lastnostjo CZ ≈ ΣZ.

125.^{Z} Ali je suspenzija ΣX poljubnega topološkega prostora vedno povezana s potmi? Ali je vedno tudi lokalno povezana s potmi?

126. Naj bo X kompaktni Hausdorffov prostor. Dokaži, da je stožec CX kontraktibilen.

127. Kompaktnost kakega prostora in lokalna kompaktnost stožca nad njim sta tesno povezana. Dokaži: a)^{Z} Če je prostor X ⊂ IR^{n} kompakten potem je stožec nad X home-

omorfen premočrtnem spoju X s točko: CX ≈ X ∗ a.

b)^{T} Če je stožec CX nad prostorom X lokalno kompakten in Hausdorffov, potem je X kompakten. Tedaj je tudi CX kompakten.

128.^{Z} Ali sta prostora X := (S^{1} × IR)^{+} in Y := (S^{1} × S^{1})/(S^{1} × {1}) homeomorfna?

129. Naj bo relacija R podana na prostoru X := IR^{2} − 0^{2} s predpisom xRy ⇔ x = 2^{n}y za x, y ∈ X in n ∈ ZZ. Kateremu znanemu prostoru je homeomorfen prostor X/R?

130. Dokaži, da je kocka I^{n} kvocientni prostor Cantorjeve množice C.

131.^{Z} Za dekompozicijo D prostora X pravimo, da je navzgor polzvezna, če so vsi elementi dekompozicije zaprti v X in če za vsak d ∈ D in njegovo odprto okolico U ⊃ d obstaja takšna odprta okolica V ⊃ d, da U vsebuje vse elemente dekompozicije, ki sekajo V. Dokaži, da je dekompozicija D navzgor polzvezna natanko takrat, ko je kvocientna projekcija p : X → X/D zaprta preslikava.

6.2 Preslikave kvocientnih prostorov

132.^{Z} Vsaka podgrupa H topološke grupe G določa ekvivalenčno relacijo na G: g_{1}, g_{2} ∈ G sta v relaciji, če obstaja tak h ∈ H, da je g_{1}h = g_{2}. Ekvivalenčni razredi so ravno odseki grupe G po H. Kvocientni prostor G po tej relaciji imenujemo prostor odsekov in označujemo z G/H. (G/H ni nujno grupa, ker za H ne zahtevamo, da je edinka.)

a) Katerim prostorom so homeomorfni prostori odsekov O(n)/SO(n) in U(n)/SU(n) ?

b) Grupo SO(n) lahko vložimo kot podgrupo v grupo SO(n + 1): vložitev SO(n) ↪ SO(n + 1) podamo z

A ↦ [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & A \end{matrix} ]

Dokaži, da je prostor odsekov SO(n + 1)/SO(n) homeomorfen S^{n}.

133.^{R} Naj bosta f : X → Y in g : Y → X takšni preslikavi med kompaktnima T_{2} prostoroma X in Y, da je g^{∘}f = id_{X}. Dokaži, da je f vložitev, g pa kvocientna.

134.^{R} Dokaži, da je vsaka retrakcija kompaktnega T_{2} prostora kvocientna preslikava.

6.3 Zlepki

135.^{R} Naj bo X = Y = [−1, 1] in naj bo f : {−1, 0, 1} → Y preslikava, dana s predpisom f(x) := x. Poisči homeomorfizem med zlepkom X ∪_{f} Y in kakim podprostorom IR^{2}.

136. Poišči tako podmnožico A ⊂ S^{1} × I in tako preslikavo f : A → S^{1}, da bo zlepek S^{1} × I ∪_{f} S^{1} homeomorfen S^{2}.

137. Naj bo A zaprt podprostor lokalno kompaktnega prostora X. Označimo z i : A × 0 ↪ X vložitev ničelnega nivoja produkta A × I v X (i(a, 0) := a). Dokaži, da je tudi zlepek A×I ∪_{i} X lokalno kompakten.

138.^{Z} Naj bo X ⊂ IR^{n} odprta in omejena in naj bo f : Fr X → Y zvezna surjekcija. Pokaži, da je tedaj \overline{X} ∪_{f} Y kompaktifikacija prostora X s prostorom Y.

139. Naj bo X poljuben prostor. Pokaži:

a) X × I ∪_{f} {∗} ≈ CX kjer je f edina preslikava iz X × {1} ⊂ X × I v singleton {∗}.

b) X × [−1, 1] ∪_{f} S^{0} ≈ ΣX, kjer je f preslikava iz X × {−1, 1} ⊂ X × [−1, 1] v S^{0} = {−1, 1} podana z f(x, t) := t.

6.4 Projektivni prostori

140.^{Z} Dokaži, da je projektivno ravnino IRP^{2} mogoče vložiti v IR^{4}. (Navodilo: pomagaj si s preslikavo f : (x, y, z) ↦ (x^{2} − y^{2}, xy, xz, yz).)

141. Naj bo p : IR^{n} − {0} → IRP^{n−1} običajna kvocientna projekcija in A ⊂ IRP^{n−1} takšen, da je p^{−1}(A) ∪ {0} linearen podprostor dimenzije m v IR^{n}. Dokaži, da je A ≈ IRP^{m−1}.

142. Naj bo p : IR^{n}−{0} → IRP^{n−1} običajna kvocientna projekcija. Dokaži, da vsak linearni izomorfizem A : IR^{n} → IR^{n} inducira homeomorfizem Â : IRP^{n−1} → IRP^{n−1}, za katerega velja Â^{∘}p = p^{∘}A. Ali obstaja homeomorfizem f : IRP^{n−1} → IRP^{n−1}, ki se ga ne da dobiti na ta način?

143.^{T} Dokaži:

a) SO(3) ≈ IRP^{3}. (Namig: S^{3} lahko gledamo kot prostor enotskih kvaternionov. Znano je, da le-ti določajo rotacije prostora IR^{3}. Pokaži, da pri tem antipodna kvaterniona določata isto rotacijo.)

b) SO(4) ≈ IRP^{3} × S^{3}. (Namig: Grupa SO(3), ki je po a) homeomorfna IRP^{3}, je naravno vložena v SO(4), medtem ko je prostor odsekov SO(4)/SO(3) homeomorfen S^{3}.)

Osnovni izreki topologije

evklidskih prostorov

144. Ali je zgornja hemisfera S_{+}^{n} retrakt sfere S^{n}? 145.^{L} Naj bosta preslikavi f, g : [0, 2π] → S^{1} podani z f(t) := e^{it} in g(t) :=

e^{−it}. Ali sta f in g homotopni?

146. Dokaži, da rob polnega torusa S^{1} × S^{1} ni retrakt polnega torusa S^{1} × B^{2}.

147. Ali je podprostor A retrakt prostora X, če a) X := S^{2} in A := S^{1} × 0.

b) X := B^{2} − {(0, 1)} in A := S^{1} ∩ X.

148. Dokaži, da je vsaka preslikava f : B^{n} → B^{n}, ki preslika S^{n−1} homeomorfno na S^{n−1}, surjektivna.

149.^{Z} Naj bo K kompakten podprostor v IR^{n} in U poljubna komponenta

prostora IR^{n} − K. Dokaži, da je U odprta v IR^{n} in da je Fr(U) ⊂ K. 150.^{Z} Naj bo C topološka krožnica v S^{2}. Suspenzija ΣC je naravno vložena

v ΣS^{2} ≈ S^{3}. Dokaži:

a) ΣS^{2} − ΣC ima natanko dve komponenti.

66 7. OSNOVNI IZREKI TOPOLOGIJE EVKLIDSKIH PROSTOROV

b) Obstaja tak homeomorfizem h : ΣS^{2} → S^{3}, da je h(ΣC) = S^{2} × {0}.

151. Ali je prostor X := (B^{1} × B^{1} × ∂B^{1}) ∪ ({0} × ∂B^{1} × B^{1}) retrakt kocke B^{1} × B^{1} × B^{1} ?

152. Naj bo f : S^{n} → S^{n} preslikava, ki je homotopna id_{S^{n}}. Dokaži, da je preslikava f surjektivna.

153. Naj bo X ⊂ IR^{n} omejen in absolutni retrakt za normalne prostore. Dokaži, da ima vsaka preslikava f : X → X negibno točko.

Kompleksi in poliedri

8.1 Osnovni pojmi afine geometrije v IR^{n}

154.^{L} Določi konveksne in afine ogrinjače:

a) točk (−1, 1) in (1, 5) v IR^{2}.
b) točk (1, 3, 3), (−2, 0, 2) in (0, −2, 0) v IR^{3}.
c) točk (2, −3, 1, 0, 0), (1, 0, −1, 0, 2) in (0, 3, −1, 2, 0) v IR^{5}.
d) točk (1, 2, −1), (0, 3, 2) in (−2, 5, 8) v IR^{3}.

155.^{R} Naj bo T tetraeder v IR^{3}, ki je konveksna ogrinjača točk (0, 1, 3), (2, 1, −3), (3, 0, 1) in (−1, 2, 3).

a) Določi baricentrične koordinate točk (1, 1, 1) in (\frac{7}{6}, \frac{5}{6}, \frac{2}{3}).

b) Ali leži točka (0, 5, −1) znotraj tetraedra?

156. Naj bo X konveksna podmnožica v IR^{n}. Točka x ∈ X je ekstremna, če za poljubna y, z ∈ X in t ∈ (0, 1), iz x = ty + (1 − t)z sledi x = y = z.

a) Dokaži, da je x ekstremna točka konveksne množice X, če in samo če za poljubna y, z ∈ X, iz x = \frac{y+z}{2} sledi x = y = z.

b)^{L} Kaj so ekstremne točke trikotnika, kocke, ravnine, krogle, odprte krogle?

c)^{T} Dokaži, da je vsaka kompaktna, konveksna podmnožica v IR^{n} konveksna ogrinjača svojih ekstremnih točk. d)^{L} Poišči zaprto konveksno podmnožico v IR^{n}, ki ni konveksna ogri-

njača svojih ekstremnih točk.

Točka c) je poseben primer zelo pomembnega Krein-Milmanovega izreka iz funkcionalne analize, ki pravi, da je vsaka kompaktna, konveksna podmnožica v lokalno konveksnem, linearnem topološkem prostoru konveksna ogrinjača svojih ekstremnih točk.

157.^{L} Ali je vsaka afina podmnožica v IR^{n} afina ogrinjača kakšne končne podmnožice?

158.^{L} Pokaži, da v S^{n} lahko izberemo n + 2 afino neodvisnih točk.

159.^{Z}

a) Dokaži, da so točke a_{i} = (a_{i1}, …, a_{in}) ∈ IR^{n}, i = 0, 1, …, n afino neodvisne natanko takrat, ko je determinanta

D = D(a_{1}, …, a_{n}) := | \begin{matrix}1 & a_{01} & ⋯ & a_{0n} \\ 1 & a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ · & · & · & · \\ 1 & a_{n 1} & ⋯ & a_{n n} \end{matrix} |

različna od nič.

b) Dokaži, da lahko izberemo števno točk v IR^{n} tako, da je poljubnih n + 1 afino neodvisnih. (Nasvet: pomagaj si s prejšnjo točko in determinanto Vandermonda.)

160. Pokaži: če so točke {p_{1}, …, p_{n}} afino neodvisne in je b njihov baricenter, potem so tudi točke {b, p_{0}, …, p_{i−1}, p_{i+1}, …, p_{n}} afino neodvisne za i = 0, 1, …, n.

8.2 Simpleksi in politopi

161.^{R} Katere izmed podmnožic v IR^{3}, določenih z naslednjimi sistemi enačb, so politopi? Za tiste, ki so politopi, določi tudi število lic.

a)

−x + y + z − 1 = 0, z ≥ 0, y ≥ 0, x + y + z − 1 ≤ 0

b)

z ≥ 0, −x + y ≥ 0, x + y − 2z ≥ 0

c)

|x| + |y| + |z| ≤ 1, y ≤ \frac{1}{2}

162.^{L} Ali je rob politopa tudi politop?

163. Vsaka kompaktna konveksna množica v IR^{n} je homeomorfna krogli B^{k} za nek k ≤ n. (Nasvet: pomagaj si z 53. nalogo.)

8.3 Simplicialni in politopni kompleksi, poliedri

164.^{L} Trianguliraj kocko.

165. Ali obstaja simplicialni kompleks K ⊂ IR^{n}, ki ima neštevno simpleksov?

166.^{R} Ali se da triangulirati stožec CCQ nad prostorom racionalnih števil?

167.^{Z} Trianguliraj IRP^{n}. (Navodilo: najprej trianguliraj sfero S^{n} tako, da so simpleksi antipodni.)

8.4 Simplicialne in kosoma linearne preslikave

168.^{R}

a) Poišči PL-homeomorfizem prostora X := {(x, y) ∈ IR^{2} | x ∈ [0, 1), y ∈ [−1, 1]} na prostor Y := {(x, y) ∈ IR^{2} | x ≥ 0}.

b) Poišči PL-homeomorfizem f : I^{3} → I^{3}, za katerega je f(I^{2} × 0) = I^{2} × 0 ∪ ∂I^{2} × I. Če tega ne znaš, poišči vsaj tak PLhomeomorfizem f : I^{2} → I^{2}, da je f(I × 0) = I × 0 ∪ ∂I × I.

c) Naj bo Δ^{2} standardni 2-simpleks in a eno izmed njegovih oglišč. Poišči PL-retrakcijo prostora Δ^{2}×I na prostor Δ^{2}×{0}∪{a}×I.

d) Bodi L := (I × {0} ∪ {0} × I) ⊂ IR^{2}. Za čim manjši n poišči eksplicitno, kosoma linearno vložitev produkta L × L v prostor IR^{n}.

e) Opiši eksplicitni PL-homeomorfizem med ∂Δ^{3} in ∂I^{3}.

f) Konstruiraj PL-retrakcijo kocke I^{3} na I^{2} × {0} ∪ ∂I^{2} × I. g) Ali obstaja PL-retrakcija punktirane ravnine IR^{2} − {0} na rob

kvadrata K = {(x, y) ∈ IR^{2} | |x| + |y| = 1}?

169.^{Z} Ali obstaja retrakcija 4-razsežnega simpleksa na njegov 2-skelet?

170.^{Z} Naj bo P polieder v IR^{n+1}, ki leži v hiperravnini P ⊂ IR^{n} × 0 ⊂ IR^{n+1}, in naj bo p ∈ IR^{n+1} − IR^{n} × 0.

a) Dokaži, da je polieder P spojljiv s točko p.

b) Naj bo P ⊂ IR^{n} polieder in f : S^{1} → P kosoma linearna vložitev. Dokaži, da lahko zlepek B^{2}∪_{f} P kosoma linearno vložimo v IR^{n+1}.

Rezultat točke b) lahko še nekoliko izboljšamo:

c) Če sta f, g : S^{1} → P kosoma linearni vložitvi, potem lahko tudi zlepek B^{2} ∪_{g} (B^{2} ∪_{f} P) kosoma linearno vložimo v IR^{n+1}.

171.^{Z} Naj bo K končno dimenzionalen simplicialni kompleks in L njegov podkompleks.

a) Dokaži, da obstaja kosoma linearna retrakcija prostora |K| × I na podprostor |K| × 0 ∪ |L| × I.

b) Dokaži, da lahko vsako kosoma linearno preslikavo f : |K| × 0 ∪ |L| × I → |M|, kjer je M poljuben simplicialni kompleks, razširimo do kosoma linearne preslikave F : |K| × I → |M|.

172.^{R} Ali je za poljubna kompaktna poliedra P in Q množica PL(P, Q) vseh PL preslikav iz P v Q zaprta v prostoru C(P, Q) vseh zveznih preslikav iz P v Q (s kompaktno-odprto topologijo)?

173. Označimo s p : S^{1} → IRP^{1} običajno kvocientno projekcijo. Poišči takšna poliedra P in Q in homeomorfizma f : P ⟶^{≈} S^{1} in g : Q ⟶^{≈} IRP^{1}, da bo preslikava g^{−1} ∘ p ∘ f kosoma linearna.

8.5 Eulerjeva karakteristika

174. Naj bo K kompakten polieder, CK stožec nad K in ΣK suspenzija nad K.

a) Izrazi χ(CK) s pomočjo χ(K).

b) Izračunaj χ(B^{n}) za vse n ∈ IN. c) Izrazi χ(ΣK) s pomočjo χ(K).

d) Izračunaj χ(S^{n}) za vse n ∈ IN.

175. Dokaži, da za končna poliedra K in L velja χ(K × L) = χ(K)χ(L). 176.^{L} Ali za vse poliedre P velja Σ(P × S^{1}) ≈ Σ(P) × S^{1}? 177.^{R} Ali obstaja povezan simplicialni kompleks K za katerega je χ(ΣK) =

9?

178. Izračunaj χ(IRP^{n}). 179.^{R} Če sta m in n različni naravni števili, potem 1-skelet m-simpleksa ni

homeomorfen 1-skeletu n-simpleksa. Dokaži. 180.^{R} Izračunaj χ(ΣK), kjer je K Kleinova steklenica. 181.^{R} Ali obstaja tak polieder X, da je χ(X × S^{2}) = 3? 182.^{R} Izračunaj Eulerjevo karakteristiko (n−2)-skeleta n-simpleksa (n ≥ 2).

Mnogoterosti

9.1 Splošne mnogoterosti

183.^{R} Dokaži, da polni torus S^{1} × B^{2} ni homeomorfen krogli B^{3}. 184.^{L} Kako morata biti izbrani točki a, b ∈ [−1, 1], da bo prostor [−1, 1]/{a, b}

mnogoterost?

185. Naj bo M n-razsežna mnogoterost. Pokaži, da obstaja zvezna surjekcija f : M → S^{n}.

186. Naj ima interval X := (−∞, 2) običajno topologijo in definirajmo preslikavo f : X → IR^{2} s predpisom

f(t) := \{ \begin{matrix}(t, 0) & t ≤ 0 \\ (0, t) & 0 ≤ t ≤ 1 \\ (1 − t, 2 − t) & 1 ≤ t ≤ 2 \end{matrix} .

Množico Y := f(X) ⊂ IR^{2} opremimo s topologijo T_{1}, ki jo inducira običajna ravninska topologija in s topologijo T_{2}, kjer je družina odprtih množic podana z {f(U) | U ⊂ X odprta}.

a) Ali sta prostora (Y, T_{1}) in (Y, T_{2}) homeomorfna?

b) Ali je kateri od teh prostorov mnogoterost?

187. Dokaži, da je vsaka povezana mnogoterost tudi povezana s potmi.

188.^{R} Kateri izmed naslednjih prostorov so mnogoterosti:

a) {(x, y) ∈ IR^{2} | 0 < x^{2} + y^{2} < 1};

b) \{r · e^{iϕ} ∈ CC | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ < \frac{π}{2} \};

c) IN × IN ⊂ IR^{2};

d) CQ × CQ ⊂ IR^{2};

e) {(x, y, z) ∈ IR^{3} | x^{2} + y^{2} ≤ z^{2}};

f) {(x, y, z) ∈ IR^{3} | x^{2} + y^{2} < z^{2}};

g) \{(x, sin \frac{1}{x}, 0) ∈ IR^{3} | x ≠ 0\};

h) \{(x, sin \frac{1}{x}, 0) ∈ IR^{3} | x > 0\}.

189.^{Z} Naj bo U odprt podprostor ravnine IR^{2} in i : B^{2} ↪ U vložitev. Dokaži, da je prostor U/i(B^{2}) mnogoterost.

190.^{Z} Dokaži, da so klasične grupe O(n), SO(n), U(n) in SU(n) gladke mnogoterosti. Kakšne so njihove dimenzije? (Navodilo za O(n): za vsako (n × n)-matriko A je matrika A^{T} A simetrična, torej je določena z \frac{n(n+1)}{2} koeficienti, ki ležijo v zgornjem trikotniku. Na podlagi te ugotovitve definiramo preslikavo f : IR^{n^{2}} → IR^{\frac{n(n+1)}{2}} , za katero lahko dokažemo, da je gladka in da ima pri vseh ortogonalnih matrikah A maksimalen rang.)

191.^{T} Dokaži, da je prostor T := \{(x, y, u, v) ∈ S^{3} | x^{2} + y^{2} ≤ \frac{1}{2}\} homeomorfen polnemu torusu. Sklepaj, da lahko S^{3} predstavimo kot unijo dveh polnih torusov, s skupnim robom.

192. Naj bo M := {(x, y, u, v, t) ∈ IR^{5} | x^{2} + y^{2} = 1, u^{2} + v^{2} ≤ 2, |t| ≤ 3}.

a) Dokaži, da je M mnogoterost.

b) Izračunaj χ(∂M).

c) Ali je ∂M retrakt M?

193. Trirazsežni torus T := S^{1} × S^{1} × S^{1} ⊂ IR^{6} presekamo z ravnino x_{6} = 0 in presek označimo z M. Dokaži, da je M sklenjena dvorazsežna mnogoterost. Katera?

194. Poišči povezano mnogoterost M, za katero je χ(ΣM) = −8.

195.^{R} Izračunaj Eulerjevo karakteristiko prostora (IRP^{2} × S^{2})#(S^{1} × S^{3}).

196. Naj bosta X in Y taka prostora, da sta njuni kompaktifikaciji z eno točko X^{+} in Y^{+} homeomorfni neki povezani, sklenjeni mnogoterosti M. Dokaži, da je X ≈ Y.

197.^{R} Naj bo d metrika na kompaktni n-razsežni mnogoterosti M. Pokaži, da obstaja tako pozitivno število ϵ, da je vsako množico A ⊂ M, ki ima diam(A) < ϵ, mogoče vložiti v IR^{n}.

198.^{R} Naj bosta M in N kompaktni, poliedrski, povezani mnogoterosti s povezanim robom. Dokaži, da je tudi M × N povezana mnogoterost s povezanim robom in izrazi χ(∂(M × N)) s χ(M), χ(N), χ(∂M) in χ(∂N).

9.2 Ploskve

199.^{R} Naj bo T := S^{1} × S^{1}. Ali sta prostora ΣT in Σ(T #T) homeomorfna?

200.^{R} Naj bosta P in Q taki sklenjeni ploskvi, da je P ∩ Q disjunktna unija n trikotnikov.

a) Ali je X := \overline{P ∪ Q − P ∩ Q} ploskev?

b) Izrazi χ(X) s pomočjo χ(P), χ(Q) in n.

201.^{R} Vpeljimo oznake J := [−1, 1] in L := (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}). Katera ploskev je rob mnogoterosti

J^{3} − ((L × L × J) ∪ (L × J × L) ∪ (J × L × L))?

202.^{T} Naj bo M kompaktna ploskev. Dokaži, da je M sklenjena natanko takrat, ko ne obstaja vložitev M v prostor T, kjer je

T := I × I × \{0\} ∪ \{\frac{1}{2}\} × I × I ⊂ IR^{3}.

203.^{R} Naj bo P ⊂ IR^{4} polieder, homeomorfen projektivni ravnini, in Q ⊂ IR^{4} polieder, homeomorfen Kleinovi steklenici. Privzemimo, da je P ∩ Q = T_{1} + T_{2}, disjunktna unija dveh trikotnikov. Katera ploskev je \overline{P ∪ Q − T_{1} − T_{2}} ?

204.^{R} Naj bo K 2-skelet 5-dimenzionalnega simpleksa.

a) Izračunaj χ(K).

b) Ali je |K| ploskev? 205.^{L} Pokaži, da Möbiusov trak lahko vložimo v vsako trirazsežno mno-

goterost.

206. Katere ploskve lahko dobimo kot kvocientni prostor sfere S^{2}? 207.^{Z} Dokaži, da lahko vsako kompaktno ploskev kosoma linearno vložimo

v IR^{4}.

Rešitve nalog

10.1 Topološki prostori

1. Preverimo aksiome: očitno ∅, X ∈ T ; če je {U_{λ}} družina odprtih množic, so njihovi komplementi končni in je (⋃_{λ} U_{λ})^{c} = ⋂_{λ} U_{λ}^{c}, torej tudi končna ali pa ∅; podobno iz (U ∩ V)^{c} = U^{c} ∪ V^{c} sledi, da je tudi komplement unije dveh množic s končnim komplementom končen.

2. Odgovor je v splošnem negativen, ker praviloma unija dveh množic iz V ni v V. Kljub temu, obstajajo primeri, ko je V topologija, na primer, ko je ena izmed topologij T ali U indiskretna.

3. a) Vpeljimo oznake K(x, ϵ) := {(u, v) | (x − u)^{2} + (y − v)^{2} < ϵ^{2}} in P (x, ϵ) = {(u, v) | max(|x − u|, |y − v|) < ϵ}. Če je U ∈ T_{1}, tedaj za vsak x ∈ U obstaja tak ϵ > 0, da je K(x, ϵ) ⊂ U. Ker je P (x, \frac{ϵ}{2}) ⊂ K(x, ϵ) sledi, da za vsak x ∈ U obstaja ϵ > 0, za katerega je P (x, ϵ) ⊂ U; torej je U ∈ T_{2} in, ker je bil U poljuben, T_{1} ⊆ T_{2}. Obratno vsebovanost, T_{2} ⊆ T_{1}, dokažemo enako, le da uporabimo K(x, ϵ) ⊂ P (x, ϵ).

b) Podobno kot v a) se prepričamo, da je T_{2} ⊂ T_{3} in T_{2} ⊂ T_{4}, vendar pa je množica {(x, y) | y ≥ 0} v T_{3} in T_{4}, ni pa v T_{2}.

c) Topologija T_{3} je močnejša. Da velja T_{4} ⊂ T_{3} preverimo tako kot prej, nato pa opazimo, da je npr. {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0} v T_{3} in ni v T_{4}.

4. a) Ne. Naj bo X kar realna premica z običajno topologijo in S := [0, 1) ∪ (1, 2]. Tedaj je Int(S) = (0, 1) ∪ (1, 2), Int(\overline{S}) = (0, 2).

b) Ne. Vzamemo X = IR in U = (0, 1) ∪ (1, 2).

c) Da. Velja Fr(S) = \overline{S} ∩ \overline{S^{c}}, zato iz S ⊂ \overline{S} in \overline{S}^{c} ⊂ S^{c} sledi Fr \overline{S} = \overline{S} ∩ \overline{\overline{S}^{c}} ⊂ \overline{S} ⋂ \overline{S^{c}} = Fr S.

5. a) Imamo lim_{k→∞}(\frac{1}{2k} − 1)^{2k} = \frac{1}{e} in lim_{k→∞}(\frac{1}{2k+1} − 1)^{2k+1} = −1e, zato sta 1e in −1e stekališči A, vse točke A pa so izolirane.

b) Če je t ∈ CQ, je v A le končno mnogo različnih točk, zato so vse izolirane in ni stekališč. Pokazali bomo, da so za iracionalni t vse točke enotske krožnice v IR^{2} stekališča. Najprej opazimo, da so vse točke a_{n} = (cos 2πnt, sin 2πnt) različne med sabo, ker iz a_{n} = a_{m} sledi 2πnt = 2πmt + 2kπ, torej (n − m)t = k in zaradi iracionalnosti t dobimo n = m. Za dana a_{n} ∈ A in ϵ > 0 izberemo k > \frac{2π}{ϵ} in razdelimo enotsko krožnico na k enakih lokov. V množici točk {a_{0}, …, a_{k}} obstajata dve, recimo a_{i} in a_{j} (i > j), ki ležita na istem loku in je zato d((1, 0), a_{i−j}) = d(a_{i}, a_{j}) ≤ ϵ. Zaporedje točk a_{i−j}, a_{2(i−j)}, a_{3(i−j)}, … deli krožnico na loke, katerih premer je manjši od ϵ, zato je vsaka točka na krožnici oddaljena manj kot ϵ od kakšne točke iz A. Ker je bil ϵ poljuben sledi, da je a_{n} stekališče.

6. Na primer a_{n} := (1 + (−1)^{n}) n. Edino stekališče je 0, zaporedje pa divergira.

7. Za poljuben x ∈ U izberimo odprto okolico V ∋ x. Ker gosta množica seka vsako odprto množico, je V ∩ (A ∩ U) = (V ∩ U) ∩ A ≠ ∅. To pomeni, da vsaka okolica x seka A ∩ U, torej je x ∈ \overline{A ∩ U}.

8. b) Če je x ≠ 0^{n}, je K_{d}(x, \frac{∥x∥}{2}) = \{x\}, medtem ko je K(0^{n}, r) običajna krogla, zato so izolirane vse točke prostora, razen izhodišča.

9. a) δ je očitno metrika. Za poljubna x ∈ X in r > 0 imamo K_{δ}(x, f(r)) ⊆ K_{d}(x, r). Po drugi strani obstaja tak r′ > 0, da je f(r′) < r, zato je K_{d}(x, r′) ⊆ K_{δ}(x, r), torej sta metriki ekvivalentni.

b) Vzamemo npr. f(x) := \frac{x}{1+x} ali f(x) := min\{1, x\}. (Prepričaj se, da predlagani funkciji res ustrezata pogojem iz točke a).)

10. Očitno je d metrika. Naj bo {x^{(n)}} Cauchyjevo zaporedje v prostoru zaporedij X. Tedaj je za vsak k tudi zaporedje {x_{k}^{(n)}} ∈ CC Cauchyjevo, in ker je prostor CC poln, ima limito, ki jo označimo z x_{k}. Zaporedje {x^{(n)}} očitno konvergira (v metriki d) proti x = (x_{k}). Ker za vsak k velja ocena

|x_{k}| ≤ |x_{k} − x_{k}^{(n)}| + |x_{k}^{(n)}| n ∈ IN

sledi, da je lim_{k→∞} x_{k} = 0, torej x ∈ X.

11. Pokazali bomo, da za družino F := {F ⊂ X | c(F) = F } veljajo aksiomi zaprtih množic. Zaradi i) je ∅ ∈ F, zaradi ii) pa tudi X ∈ F. Če sta F_{1}, F_{2} ∈ F, je zaradi iv) tudi F_{1} ∪F_{2} ∈ F. Če je {F_{λ}} poljubna poddružina F, moramo pokazati, da je tudi njen presek v F. Ker je ⋂_{λ} F_{λ} ⊆ c(⋂_{λ} F_{λ}), moramo pokazati le še obratno inkluzijo. Opazimo najprej, da iz A ⊆ B sledi cA∪cB = c(A∪B) = cB, torej c(A) ⊆ c(B). Če to uporabimo na ⋂ F_{λ} ⊆ F_{λ}, dobimo c(⋂ F_{λ}) ⊆ c(F_{λ}) = F_{λ} za vse λ. Sklepamo, da je tudi c(⋂ F_{λ}) ⊆ ⋂ F_{λ}. Jasno je, da družina T := {U ⊂ X | X − U ∈ F} zadošča zahtevam za topologijo. Zaprtje v topologiji T je definirano kot Cl_{T} A := ⋂{F ∈ F | A ⊂ F }. Ker je cA = c(cA), sledi cA ∈ F in Cl A ⊆ cA. Po drugi strani, če je A ⊆ F ∈ F, dobimo cA ⊆ cF = F, torej je tudi cA ⊆ Cl A. Zveza med topologijo in operatorji zaprtja je očitno bijektivna.

12. a) Očitno je c(∅) = ∅ in A ⊆ cA. Izberimo polinom p ∈ A^{⊥}. Za vsak x ∈ cA je p(x) = 0, zato je A^{⊥} ⊆ (cA)^{⊥}. Ker operacija ( ) ↦ ( )^{⊥} obrača inkluzije, sledi c(cA) ⊆ cA, torej c(cA) = cA. Končno c(A ∪ B) = ((A ∪ B)^{⊥})^{⊥} = (A^{⊥} ∩ B^{⊥})^{⊥} = cA ∪ cB

b) Če je A ⊆ CC končna je cA = A, če pa je A neskončna je A^{⊥} = ∅ in cA = CC, torej je to ravno topologija končnih komplementov.

13. a) Očitno je V (K) = ∅ in V ({0}) = Spec K. Velja tudi ⋂_{λ} V (A_{λ}) = V (⋃_{λ} A_{λ}). Pokažimo še, da velja V (A)∪V (B) = V (AB). Očitno je V (A) ∪ V (B) ⊆ V (AB). Obratno, naj bo P ∈ V (AB) in P ∉ V (A). Tedaj obstaja a ∈ A − P in ker je za vsak b ∈ B produkt ab ∈ P, dobimo B ⊆ P oziroma P ∈ V (B).

b) Za bazo topologije lahko vzamemo družino množic Spec K − V ({x}), kjer x preteče cel K (glej nalogo 28). To pomeni, da je množica U ⊆ Spec K odprta natanko takrat, ko za vsak praideal P ∈ U obstaja tak x ∈ K − P, da vsak praideal, ki ni v U, vsebuje x. c) Praideali v ZZ so ravno tisti, ki so generirani s praštevili, zato

množico Spec ZZ enačimo z množico praštevil. Če je {0} ≠ A ⊆ ZZ, je V (A) množica vseh tistih praštevil, ki delijo vse elemente iz A. Sledi, da so poleg ∅ in Spec(ZZ) zaprte le tiste množice, ki so končne, torej ima Spec ZZ topologijo končnih komplementov. Podobno so Spec(ZZ[x]), Spec(IR[x]) in Spec(CC[x]) množice nerazcepnih polinomov nad ZZ, IR in CC s topologijo končnih komplementov. Posebej so nad CC nerazcepni le linearni polinomi, zato jih lahko identificiramo z množico njihovih ničel, kar pomeni, da je Spec(CC[x]) ravno CC s topologijo končnih komplementov.

14. Če je f : (X, T_{1}) → Y zvezna, so praslike glede na f vseh odprtih množic iz Y v T_{1} in zato tudi v T_{2}, torej je f : (X, T_{2}) → Y zvezna. Drugo trditev dokažemo podobno.

15. Vse funkcije so zvezne, ker so kompozitumi zveznih, bijektivnost pa je očitna.

16. Prostor X lahko gledamo kot produkt krožnice brez ene točke z odprtim intervalom. Krožnico brez točke preslikamo na IR s stereografsko projekcijo (naloga 15 c)), odprti interval pa s homeomorfizmom f iz naloge 15 a). Eksplicitno se homeomorfizem h : X → IR^{2} glasi

h(x, y) := (f(\sqrt{x^{2} + y^{2}} − 2), \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} − y}).

17. Če gledamo S^{1} in K kot podprostora kompleksne ravnine, je homeomorfizem f : S^{1} × I → K dan z f(x, t) := x(1 + t).

18. Da. Če je g : IR → (−1, 1) homeomorfizem iz naloge 15a), tedaj je (x, y, z) ↦ (\frac{x}{z}, \frac{y}{z} , g(\frac{z−1}{z})) homeomorfizem med K in S^{1} × (−1, 1).

19. a) Naj bo s_{n} : S^{n} − {(0, …, 0, 1)} → IR^{n} stereografska projekcija iz točke c) 15. naloge. Tedaj je iskani homeomorfizem f : IR^{2} −(0× IR_{+}) → IR^{2} podan z f(x) := (s_{1}(\frac{x}{∥x∥}), ln ∥x∥).

b) Ker je IR_{+}^{m} ≈ IR_{+} × IR^{m−1}, je

IR^{n} − (0^{m−n} × IR_{+}^{m}) ≈ (IR^{n−m+1} − (0^{m−n} × IR_{+})) × IR^{m−1} ≈

≈ (S^{n−m} − {(0, …, 0, 1)}) × (0, ∞) × IR^{m−1},

lahko homeomorfizem f : IR^{n} − (0^{m−n} × IR_{+}^{m}) → IR^{n} podamo z

f(x, y) := (s_{n−m+1}(\frac{x}{∥x∥}), ln ∥x∥, y).

Tukaj predstavlja x ∈ IR^{n−m+1} prvih n − m + 1, y ∈ IR^{m−1} pa preostalih m − 1 komponent vektorja iz IR^{n}.

20. a) Ne. Vzamemo A = B = X = S^{1} − {1} in Y = S^{1}.

b) Ne. Vzamemo A = S^{1} − {1}, B = (0, 1), X = S^{1}, Y = I.

21. a) Ni zvezna; ni odprta, ker je f(IR) = [0, 1); ni zaprta, ker je množica A := \{n + \frac{1}{n} | n ∈ IN\} zaprta, f(A) = \{\frac{1}{n} | n ∈ IN\} pa ne.

b) Zvezna, ker je kompozitum zveznih; ni odprta, ker je f(IR^{2}) = [−1, 1]; ni zaprta, ker lahko izberemo zaporedje (x_{n}) brez stekališč v IR^{2} (torej zaprto množico), za katero je f(x_{n}) → 0 (primerjaj z naslednjo točko).

c) Zvezna, ker je kompozitum zveznih; ni odprta, ker je f((0, ∞)) zaprt interval; ni zaprta, ker je množica A = {−2kπ | k ∈ IN} zaprta, medtem ko ima f(A) = {f(−2kπ) = e^{−2kπ} | k ∈ IN} stekališče 0 ∈ IR, ki ga ne vsebuje.

22. Denimo, da je f zvezna in zaprta. Ker je f(A) ⊆ f(\overline{A}) in ker je f(\overline{A}) zaprta, je \overline{f(A)} ⊆ f(\overline{A}). Obratno, če je F zaprta množica, ki vsebuje f(A), je f^{−1}(F) zaprta in vsebuje A, torej tudi \overline{A}. Sledi, da je f(\overline{A}) ⊆ ff^{−1}(F) ⊆ F in zato f(\overline{A}) ⊆ \overline{f(A)}. Obratno, če za vsak A ⊆ X velja f(\overline{A}) = \overline{f(A)}, je f očitno zaprta, saj za vsak zaprti F velja f(F) = f(\overline{F}) = \overline{f(F)}. Za poljubno zaprto množico F velja f(f^{−1}F) ⊆ F, torej f(\overline{f^{−1}F}) = \overline{f(f^{−1}F)} ⊆ F in zato \overline{f^{−1}F} ⊆ f^{−1}(f(\overline{f^{−1}F})) ⊆ f^{−1}F. Ker je vselej f^{−1}F ⊆ \overline{f^{−1}F} imamo tukaj enakost, kar pomeni, da je praslika vsake zaprte množice zaprta in f je zvezna.

23. Privzemimo, da za vsak A velja f(Int A) ⊆ Int f(A). Tedaj za odprto množico A dobimo Int f(A) ⊆ f(A) = f(Int A) ⊆ Int f(A), torej je f(A) = Int f(A) odprta. Obratno, če je f odprta, je za vsak A množica f(Int A) odprta in vsebovana v f(A), torej tudi v Int f(A).

24. a) Naj bo U ⊆ Y odprta. Tedaj je g(U) = gf(f^{−1}(U)), torej tudi odprta.

b) Postavimo X = Z = [0, 1] in Y = [0, 2] ter f(x) := x, g(y) := y, če y ≤ 1 in 1 sicer. Tedaj je g ∘ f = id, torej odprta, medtem ko g ni odprta, saj se (1, 2) preslika v točko 1.

25. c) Najprej preoblikujmo definicijo: f je navzgor polzvezna, če in samo če je za vsak a ∈ IR množica {x | f(x) < a} odprta. Privzemimo sedaj, da je f navzgor polzvezna ter izberimo x_{0} ∈ X in ϵ > 0. Po privzetku je množica V := {x | f(x) < f(x_{0}) + ϵ} odprta in vsebuje x_{0}, zato obstaja okolica U točke x, ki je vsebovana v V, kar pomeni, da za vsak y ∈ U velja f(y) < f(x_{0}) + ϵ. Obratno, če vzamemo a ∈ IR in poljuben y ∈ {x | f(x) < a}, obstaja okolica U točke y, ki je vsebovana v {x | f(x) < a}, torej je {x | f(x) < a} odprta.

d) Prostor IR^{n×n} je povezan, torej funkcija rang, ki je surjektivna na zalogo vrednosti {0, 1, …, n} ⊂ IN, ne more biti zvezna. Iz 39. naloge vemo, da vsaj kar zadeva topologijo lahko gledamo matriko kot dolg vektor in uporabljamo vektorsko normo. Če ima matrika rang k, tedaj obstaja k linearno neodvisnih stolpcev. Jasno je, da bodo, pri dovolj majhni spremembi komponent, isti stolpci še vedno linearno neodvisni, torej se rang ne bo zmanjšal.

e) Trditev sledi neposredno iz karakterizacije polzveznosti v točki c).

f) Množica {x | inf f_{λ}(x) ≥ a} = ⋂_{λ}{x | f_{λ}(x) ≥ a} je zaprta, ker so vse funkcije f_{λ} navzgor polzvezne.

g) Ker je f omejena, obstaja navzgor polzvezna funkcija (namreč konstanta), ki je večja od f. Infimum družine vseh navzgor polzveznih funkcij, ki so večje od f, obstaja in je očitno najmanjša navzgor polzvezna funkcija, ki je večja od f.

26. b) Razširimo definicije homeomorfizmov iz 15a).

c) Npr. zaporedje 1, 2, 3, . . ..

d) Očitno, saj je zvezna, odprta in injektivna.

27. b) Točka (0, 0) je v zaprtju IN×IN zato, ker vsaka njena okolica seka IN×IN. Naj bo {a_{n}} poljubno zaporedje v IN×IN. Pokazali bomo, da obstaja okolica U točke (0, 0), zunaj katere je neskončno mnogo točk zaporedja. Ločimo dve možnosti: če so vsi elementi zporedja vsebovani v neki končni množici navpičnic, lahko za U vzamemo unijo vseh ostalih navpičnic. V nasprotnem primeru, če obstaja neskončno navpičnic, ki vsebujejo kakšno točko zaporedja, sestavimo U tako, da vzamemo vse navpičnice, le da na tistih, ki sekajo zaporedje izpustimo po en element zaporedja. V obeh primerih dobimo množico U, ki je odprta po ii) pogoju in zunaj katere je neskončno mnogo elementov zaporedja, kar pomeni, da (0, 0) ni limita tega zaporedja.

c) Ker je topologija na IN × IN diskretna in ker nobeno zaporedje iz IN×IN ne konvergira k (0, 0), sklepamo, da so edina konvergentna zaporedja tista, ki so od nekje naprej konstantna.

d) Ker imajo v (X, T ) limito le tista zaporedja, ki so od nekje naprej konstantna, jih identiteta ohranja, kljub temu pa ni zvezna, saj je diskretna topologija močnejša od T .

28. Za vsak pravi praideal P obstaja k ∈ K − P. Tedaj je P ∈ B_{k} in družina vseh B_{k} pokriva Spec(K). Ker praideal ne vsebuje elementov k in l kolobarja K natanko takrat, ko ne vsebuje njunega produkta, sledi B_{k} ∩ B_{l} = B_{kl}, torej je {B_{k} | k ∈ K} res baza neke topologije. Iz točke a) 13. naloge dobimo, da je porojena topologija ravno tista, ki smo jo predpisali na prostoru Spec(K). Namreč, če je praideal P vsebovan v odprti množici Spec(K)−V (A), potem obstaja a ∈ A−P, zato je B_{a} v Spec(K) − A vsebovana bazična okolica za P. Opazimo še, da je B_{k} = ∅ natanko takrat, ko je k delitelj niča, kar pomeni, da za bazo topologije lahko vzamemo le tiste B_{k}, ki jih dobimo, ko k preteče elemente K, ki niso delitelji niča.

29. b) Ker je (a, b) = ⋃_{n}[a + \frac{1}{n}, b), so vse odprte množice običajne topologije tudi v T . Po drugi strani je [a, b) ∈ T , ni pa odprta v običajni topologiji.

c) Množica CQ je očitno števna in gosta v (IR, T ). Družina {[a, a + \frac{1}{n}) | n ∈ IN\} je števna lokalna baza okolic točke a.

d) Če je B poljubna baza topologije T , potem za vsako odprto množico [a, b) obstaja B_{a} ∈ B, ki vsebuje a in B_{a} ⊆ [a, b). Od tod sledi, da za a ≠ a′ velja B_{a} ≠ B_{a′} (če je a < a′, je a ∈ B_{a} − B_{a′}), torej baza B ni števna.

e) Metrični prostor je 2-števen natanko takrat, ko je separabilen, medtem ko smo v prejšnji točki videli, da je Sörgenfreyeva premica separabilna in ni 2-števna.

30. a) Naj bo A števna gosta množica in {U_{λ}} družina paroma disjunktnih odprtih množic. Za vsak λ lahko izberemo x_{λ} ∈ U_{λ} ∩ A in vsi so med sabo različni, torej jih je največ števno mnogo.

b) Če je x izolirana točka, je {x} odprta množica, zato množica izoliranih točk določa družino paroma disjunktnih odprtih množic, ki je po a) največ števna.

31. Da, saj je podprostor 2-števnega prostora IR. Gosta, števna podmnožica je npr. \sqrt{2} + CQ.

32. a) Če G(f, K, ϵ) ∩ G(f′, K′, ϵ′) ≠ ∅, izberemo g, ki je v preseku, in postavimo

δ := min({ϵ−|f(x)−g(x)| | x ∈ K}∪{ϵ′−|f′(x)−g(x)| | x ∈ K′}).

Tedaj je G(g, K ∪ K′, δ) ⊂ G(f, K, ϵ) ∩ G(f′, K′, ϵ′) ≠ ∅. Če zaporedje {f_{n}} konvergira v tej topologiji proti funkciji f, potem so za vsak x ∈ IR vsi razen končno mnogih elementov zaporedja v okolici G(f, {x}, ϵ) funkcije f, torej za vsak x zaporedje {f_{n}(x)} konvergira k f(x).

b) Naj bo {G(f, K_{n}, ϵ_{n})} kaka števna družina okolic funkcije f. Obstaja točka x ∈ IR−⋃_{n} K_{n}. Jasno je, da odprta okolica G(f, x, 1) ne vsebuje nobene okolice iz družine.

c) Očitno, saj velja G(f, K, ϵ) = ⋂_{x∈K} G(x, (f(x) − ϵ, f(x) + ϵ)).

d) Dokaz je podoben, kot v točki b). Pri tem upoštevamo, da za končno množico K in x_{0} ∉ K obstaja taka realna funkcija f, da je f(x) ∈ V za vse x ∈ K in f(x_{0}) ∉ V. (Zadoščalo bi že, če bi privzeli, da je X normalen.)

e) Družina \{G(f, K, \frac{1}{n}) | K ⊂ IN končna , n ∈ IN\} je števna lokalna baza okolic funkcije f.

33. c) Metrika je d(f, g) := max_{x∈I}{|f(x) − g(x)|}.

34. V T_{1} prostoru so vse končne množice zaprte, torej so odprti vsaj vsi komplementi končnih množic, ti pa že določajo topologijo, namreč topologijo končnih komplementov.

35. a) Vse točke IN so limite tega zaporedja. V poljubni okolici poljubne

točke so namreč vsi razen končno mnogih členov zaporedja.

b) Če sklepamo kot v točki a) vidimo, da je vsaka števna podmnožica v prostoru s topologijo končnih komplementov gosta.

36. Zaporedje sestavimo rekurzivno. Najprej opazimo, da v neskončnem T_{2} prostoru lahko izberemo disjunktni odprti množici, od katerih vsaj ena vsebuje neskončno mnogo točk. Lahko namreč vzamemo dve različni točki in poiščemo njuni disjunktni okolici, recimo U in V. Če ima U končno točk, je \overline{U} = U, zato za neskončno odprto podmnožico lahko vzamemo \overline{U}^{c}. Če pa ima U neskončno točk, vzamemo kar U in V. Zaporedje tvorimo takole: v X izberemo odprti množici U_{1} in V_{1}, pri tem naj bo U_{1} neskončna. Postopek ponovimo v U_{1}, ki je spet neskončen T_{2} prostor, in dobimo zaporedje disjunktnih odprtih množic V_{1}, V_{2}, . . ..

37. b) Poljubna odprta množica v X je oblike U×{0, 1}, kjer je U odprta v IR. Podobno so zaprte množice v X natanko produkti zaprtih množic v IR z {0, 1}. Od tod takoj sledi, da ima X lastnosti T_{3} in T_{4}, nima pa lastnosti T_{0} (torej niti T_{1} in T_{2}), ker ni odprtih množic, ki bi vsebovale eno izmed točk oblike (x, 0), (x, 1), druge pa ne.

38. a) Množice U_{a,b} očitno pokrivajo IN. Denimo, da je U_{a,b} ∩ U_{c,d} ≠ ∅. Tedaj obstaja k = am + b = cn + d, ki je v preseku. Ker a in b nimata skupnih faktorjev, sta tuja tudi a in k. Enako dobimo, da sta tudi c in k tuja, torej je (ac, k) = 1. Sledi, da je U_{ac,k} bazična odprta množica, ki je vsebovana v preseku U_{a,b} ∩ U_{c,d}.

b) Da, ker je komplement odprte množice U_{p,1} ∪ … ∪ U_{p,p−1}.

c) Za različni točki m, n ∈ IN izberimo praštevilo p, ki je večje od obeh. Tedaj je m ∈ U_{p,m}, n ∈ U_{p,n} in U_{p,m} ∩U_{p,n} = ∅. Pogoj regularnosti preverjamo na množici 2IN in točki 1. Najprej opazimo, da je množica 2IN zaprta. Ni pa odprta, ker točka 2 ∈ 2IN leži le v bazičnih okolicah oblike U_{a,2}, kjer je a liho število. Bazične okolice točke 1, ki ne sekajo 2IN, so oblike U_{2k,1}. Če je U_{a,b} okolica točke 2k ∈ 2IN, je U_{2k,1} ∩ U_{a,b} ≠ ∅, ker iz an + b = 2k sledi, da ima diofantska enačba a(n + p) + b = 2km + 1, ali ekvivalentno, ap − 2km = 1, neskončno pozitivnih rešitev p, m, saj sta a in 2k tuji števili. To pomeni, da je 2k v zaprtju U_{2k,1}, torej zaprtje vsake okolice točke 1 seka množico 2IN in prostor ni regularen.

39. a) Naj bo ∥A∥ operatorska norma matrike A, |A| := \sqrt{sl(A^{T} A)} pa naj bo norma, ki jo dobimo, če gledamo A kot vektor z n^{2} komponentami. Ker je ∥A∥^{2} = ∥A^{T} A∥ = največja lastna vrednost matrike A^{T} A in sl(A^{T} A) = vsota lastnih vrednosti matrike A^{T} A, dobimo oceno ∥A^{T} A∥ ≤ sl(A^{T} A) ≤ n∥A^{T} A∥ in zato ∥A∥ ≤ |A| ≤ \sqrt{n} ∥A∥, kar pomeni, da sta normi ekvivalentni.

b) GL(n, IR) je odprta, ker je praslika odprte množice IR − {0} pri zvezni preslikavi det : IR^{n×n} → IR. Poljubno matriko A lahko zapišemo kot A = P JP^{−1}, kjer je J zgornja trikotna matrika.

Naj bo ϵ > 0 poljuben; privzeti smemo, da je manjši kot absolutna vrednost razlike poljubnih dveh različnih lastnih vrednosti matrike J. Tedaj je matrika B := P (J + \frac{ϵ}{∥P ∥ ∥P^{−1}∥} I)P^{−1} obrnljiva, saj so vse njene lastne vrednosti različne od 0. Neposredni račun nam da ∥A−B∥ ≤ ϵ, torej v poljubno majhni okolici vsake matrike obstaja obrnljiva matrika.

40. a) Na Q je inducirana topologija običajna (evklidska), na L pa

diskretna.

b) Naj bo (x, y) ∈ P in A zaprta množica, ki ne vsebuje (x, y). Če je y > 0, potem obstaja tak r < y, da krogla K((x, y), r) ne seka A. Tedaj sta K((x, y), \frac{r}{2}) in P − \overline{K}((x, y), \frac{r}{2}) disjunktni odprti množici, ki separirata (x, y) od A. Če je y = 0, potem obstaja tak z > 0, da okolica K((x, z), z)∪{(x, 0)} ne seka A. Tokrat sta K((x, \frac{z}{2}), \frac{z}{2})∪\{(x, 0)\} in P −\overline{K}((x, \frac{z}{2}) odprti okolici, ki separirata (x, y) od A.

c) Množica točk v Q, ki imajo vse koordinate racionalne, je števna in gosta v P. Podprostor L je nešteven in diskreten, torej ni separabilen. Če bi bil P 2-števen, bi moral biti tak tudi njegov podprostor L, to pa ni, saj ni niti separabilen.

d) Očitno je vsaka podmnožica L zaprta v P. Pokazali bomo, da se ne da separirati zaprtih množic A := CQ × 0 in B := (IR − CQ) × 0. Izberimo poljubni okolici U in V za A in B. Za vsako točko p ∈ B obstaja disk D_{p} ⊂ V z radijem r_{p}. Naj bo S_{n} := {p ∈ B | r_{p} > \frac{1}{n}\}. Družina \{S_{n}\} skupaj s točkami iz A je števno pokritje prostora L. Če na L vzamemo običajno topologijo, dobimo poln metrični prostor, zato po Baireovem izreku obstaja tak n_{0} ∈ IN, da S_{n_{0}} ni nikjer gost v običajni topologiji. To pomeni, da je na nekem intervalu (a, b) ⊂ L množica \{p ∈ B | r_{p} > \frac{1}{n_{0}} \} gosta, torej vsaka okolica (v topologiji Niemytzkega) vsake racionalne točke na (a, b) seka V. Sklepamo, da je U ∩ V ≠ ∅.

41. Če je U odprta množica, A pa poljubna, tedaj iz A ∩ U = ∅ sledi A ⊆ U^{c} in, ker je U^{c} zaprta množica, \overline{A} ⊆ U^{c}, torej je tudi \overline{A} ∩ U = ∅. To pomeni, da odprta množica seka neko množico natanko takrat, ko seka njeno zaprtje. V našem primeru sklepamo, da je tudi družina \{\overline{A}_{λ}\} lokalno končna.

42. a) Brez težav se prepričamo, da je f nujno bijektivna. Ker je družina {f^{−1}(B_{λ})} odprto pokritje in so vse restrikcije f na množice pokritja zvezne in odprte, je f zvezna in odprta na celem prostoru. Funkcija f je zvezna, odprta bijekcija, torej homeomorfizem.

b) Ne. Pri danih pogojih se ne da dokazati, da je f bijektivna. Za protiprimer lahko vzamemo funkcijo f : IR → S^{1}, f : t ↦ e^{it} in pokritje {B_{t} | t ∈ IR}, kjer je B_{t} := (t − 1, t + 1).

10.2 Kompaktnost

43. Naj bo U = {U_{λ} | λ ∈ Λ} odprto pokritje za A. Obstaja U_{λ_{0}} ∈ U, ki vsebuje x, in zato obstaja tak N ∈ IN, da je x_{n} ∈ U_{λ_{0}} za vse n > N. Za vsak i ≤ N je x_{i} vsebovan v kakem U_{λ_{i}} ∈ U, torej je {U_{λ_{0}}, U_{λ_{1}}, …, U_{λ_{N}} } končno podpokritje za A.

44. Bodi A := \{(\frac{p}{1000}, \frac{q}{1000}) | p, q = 0, 1, …, 1000\} ⊂ I^{2}. Družina krogel \{K(x, \frac{1}{100}) | x ∈ A\} je končno podpokritje za I^{2}. Za njegovo Lebesgueovo število lahko vzamemo \frac{1}{1000}: če je U množica z diametrom manjšim od \frac{1}{1000}, potem za poljuben x ∈ U obstaja a ∈ A, ki je oddaljen od x manj kot \frac{1}{1000}, torej je U ⊂ K(a, \frac{1}{100}).

45. Na primer U := \{[0, \frac{1}{2}) ∪ \{x\} | x ∈ [\frac{1}{2}, 1]\}. Iz primera je razvidno, da je odprtost pokritja v definiciji kompaktnosti bistvena.

46. Pokazali bomo, da δ := 10^{−5} zadošča. Denimo, da za u, v ∈ S^{2} velja ∥u − v∥ < δ in označimo po vrsti s t, s tretji komponenti točk u in v. Tedaj je

∥f(u) − f(v)∥^{2} = ∥(\sqrt{1 − t^{2}} − \sqrt{1 − s^{2}}, t − s)∥^{2} =

\underbrace{2(1 − ts − \sqrt{(1 − t^{2})(1 − s^{2})})}_{I_{1}} = \underbrace{2\frac{(t − s)^{2}}{(1 − ts) + \sqrt{(1 − t^{2})(1 − s^{2})}}}_{I_{2}} .

Če je 1 − |t| < δ, je 1 − |s| < 2δ in I_{1} < 2(δ + \sqrt{2δ · 4δ}) < 8δ. Če pa je 1 − |t| ≥ δ, je |1 − ts| ≥ δ in I_{2} ≤ 2\frac{δ^{2}}{δ} = 2δ. V obeh primerih je ∥f(u) − f(v)∥ < \sqrt{10δ} = \frac{1}{100}.

47. Definiramo g : M → IR z g(x) := d(x, f(x)). Po predpostavki je povsod g(x) > 0, zato je minimum funkcije g na kompaktnem M, označimo ga s c, pozitiven. Sledi, da je d(x, f(x)) = g(x) ≥ c > 0 za vse x ∈ M.

48. Izometrija je vedno homeomorfizem na sliko (torej vložitev). Dovolj bo torej, če dokažemo, da je f tudi surjektivna. Denimo, da obstaja x ∉ f(X). Tedaj je d(x, f(X)) = c > 0. Za poljubna m > n ∈ IN je d(f^{n}(x), f^{m}(x)) = d(x, f^{m−n}(x)) ≥ c, zato zaporedje {f^{n}(x)} nima stekališč, kar je nasprotju s kompaktnostjo prostora X, torej je f surjektivna.

49. Naj bo A_{n} := f^{n}(X). Ker je A_{0} = X ⊇ f(X) = A_{1} in ker iz A_{n−1} ⊇ A_{n} sledi A_{n} = f(A_{n−1}) ⊇ f(A_{n}) = A_{n+1}, sklepamo, da je A_{0} ⊇ A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ … zaporedje vloženih kompaktov. Zato je A := ⋂_{n=0}^{∞} A_{n} neprazen kompakt. Trdimo, da je f(A) = A. Za vsak n je A ⊆ A_{n}, torej f(A) ⊆ A_{n} in zato f(A) ⊆ ⋂_{n=0}^{∞} A_{n} = A. Obratno, če izberemo x ∈ A = ⋂_{n=1}^{∞} f(A_{n−1}), potem za vsak n obstaja y_{n} ∈ A_{n}, za katerega je f(y_{n}) = x. Naj bo y poljubno stekališče zaporedja (y_{n}). Zaradi vloženosti množic A_{n}, so v vsakem A_{n} vsebovane vse razen končno mnogih točk y_{n}, torej je za vsak n točka y ∈ \overline{A}_{n} = A_{n}. Sledi y ∈ A. Ker je f zvezna, je f(y) = x, zato je A ⊆ f(A).

50. V kompaktnem T_{2} prostoru se družina kompaktov ujema z družino zaprtih množic. Če vzamemo šibkejšo topologijo, se družina kompaktov kvečjemu poveča, ker je manj odprtih pokritij, medtem ko se družina zaprtih množic zmanjša. To pomeni, da v novi topologiji obstajajo kompaktne množice, ki niso zaprte, torej topologija ni Hausdorffova.

51. Naj bo U = {U_{λ} | λ ∈ Λ} odprto pokritje poljubne množice A. Za λ_{0} ∈ Λ vsebuje množica A − U_{λ_{0}} največ končno točk x_{1}, …, x_{n}. Izberemo U_{λ_{i}} ∈ U, i = 1, …, n tako, da je x_{i} ∈ U_{λ_{i}}. Tedaj je {U_{λ_{0}}, U_{λ_{1}}, …, U_{λ_{n}}} končno podpokritje za A.

52. Pokažimo najprej, da je f navzgor omejena. Družina množic K_{n} := {x ∈ K | f(x) ≥ n} za n = 1, 2, … je padajoče zaporedje vloženih kompaktov, katerega presek je očitno prazen, zato je prazen že kakšen izmed K_{n} (in seveda vsi nadaljnji). Naj bo M := sup_{K} f(x). Ponovno imamo družino K_{n}′ := \{x ∈ K | f(x) ≥ M − \frac{1}{n}\} za n = 1, 2, …, ki je tudi padajoče zaporedje, tokrat nepraznih (zaradi lastnosti supremuma) kompaktov, zato je tudi ⋂ K_{n}′ neprazen. Očitno je f(x) = M za vsak x ∈ ⋂ K_{n}′, kar smo tudi želeli dokazati.

53. Najprej bomo konstruirali homeomorfizem med S^{n−1} in robom množice C. Označimo M := Fr C. Brez škode za splošnost smemo privzeti, da je 0^{n} ∈ Int C, torej obstaja tak r > 0, da je K(0^{n}, r) ⊂ C. Definiramo g : M → S^{n−1} z g(x) := \frac{x}{∥x∥}. Funkcija g je očitno zvezna, dokazali bomo, da je tudi homeomorfizem. Za poljuben y ∈ S^{n−1} obstaja s := sup{λ ∈ IR^{+} | λy ∈ C}, ker je C omejena. Povrhu je s > 0, ker je ry ∈ C in s ≥ r. Za vsak pozitiven ϵ množica {ty | t ∈ (s − ϵ, s + ϵ)} seka tako C kot njegov komplement, torej je sy ∈ M. Sledi g(sy) = \frac{sy}{∥sy∥} = \frac{y}{∥y∥} = y in g je surjektivna. Denimo sedaj, da obstajata taka x, x′ ∈ M, da je g(x) = g(x′) ∈ S^{n−1}. Tedaj je x = ty in x′ = t′y za t, t′ > 0. Če je t > t′ postavimo d := (1− \frac{t′}{t})r > 0. Zaradi konveksnosti množice C je krogla K(x′, d) ⊂ C (nariši!), torej x′ ∉ M. Podobno dobimo protislovje, če predpostavimo, da je t < t′, torej mora veljati t = t′ in x = x′, kar pomeni, da je funkcija g tudi injektivna. Ker je M zaprt podprostor kompaktnega prostora C, je g zvezna bijekcija iz kompaktnega v Hausdorffov prostor, torej homeomorfizem.

Sedaj lahko definiramo f : (IR^{n}, C, FrIR^{n} C) → (IR^{n}, B^{n}, S^{n−1}). Postavimo:

f(x) := \{ \begin{matrix}\frac{x}{∥g^{−1}( \frac{x}{∥x∥})∥} & x ≠ 0^{n} \\ 0^{n} & x = 0^{n} \end{matrix}

Brez težav se prepričamo, da je njen inverz dan z

f^{−1}(y) := \{ \begin{matrix}y∥g^{−1}(\frac{y}{∥y∥})∥ & y ≠ 0^{n} \\ 0^{n} & y = 0^{n} \end{matrix}

Funkcija f : IR^{n} → IR^{n} je očitno bijekcija. Vprašljiva je le še zveznost v izhodišču. Ker sta C in B^{n} kompaktna in Hausdorffova prostora, zadošča, če pokažemo, da je vsaj ena izmed preslikav f in f^{−1} zvezna. Ker je f^{−1}, razen v izhodišču, množenje z ∥f^{−1}(\frac{y}{∥y∥})∥, je očitno zvezna tudi v izhodišču.

a) Recimo pri n = 1 sta I in IR obe zaprti in konveksni, vendar pa nista homeomorfni, torej je kompaktnost bistvena.

b) Če je konveksna odprta množica U ⊆ IR^{n} omejena, je njeno zaprtje kompaktna konveksna podmnožica IR^{n} z neprazno notranjostjo, zato je U homeomorfna Int B^{n}. Za neomejeno konveksno odprto množico U ⊂ IR^{n} smemo privzeti 0^{n} ∈ U. Naj bo h: IR^{n} → IR^{n} dana s h(x) := \frac{x}{1+||x||}. Pokazali bomo, da je h(U) tudi konveksna odprta množica. Zaradi konveksnosti U je z vsako točko x ∈ U v U vsebovana cela daljica [0^{n}, x] in ker h spremeni le dolžino vektorja, je [0^{n}, h(x)] ⊂ h(U). Vzemimo x, y ∈ U in t ∈ I; pokazati moramo, da je w := th(x) + (1 − t)h(y) ∈ h(U). Naj bo z := \frac{w}{s}, kjer je s = \frac{t}{1+||x||} + \frac{1−t}{1+||y||}. Potem leži z na daljici [x, y], torej je v U, zato zaradi proporcionalnosti w in z zadošča dokazati, da je ||w|| ≤ ||h(z)||. Slednja neenačba je ekvivalentna pogoju ||w|| + s ≤ 1, ki ga ni težko preveriti.

54. a) Ker je vsaka končna množica kompaktna, so vse podbazične okolice v topologiji konvergence po točkah odprte v kompaktnoodprti topologiji. V diskretnih prostorih so kompakti natanko končne množice, zato se pri teh topologiji ujemata. V C(IR) je množica G(I, IR) odprta v kompaktno odprti topologiji, ni pa odprta v topologiji konvergence po točkah.

b) Naj bo G(K, V) poljubna podbazična okolica za kompaktnoodprto topologijo. Za f ∈ G(K, V), lahko vzamemo ϵ, ki je manjši od razdalje med f(K) (kompakt!) in V^{c}. Tedaj je G(f, ϵ) vsebovan v G(K, V), torej je G(K, V) je odprta v topologiji enakomerne konvergence. Privzemimo sedaj, da je X kompakten. Za izbrano bazično okolico G(f, ϵ) (v topologiji enakomerne konvergence) vzemimo končno podpokritje odprtega pokritja {U_{x} := f^{−1}(K(f(x), \frac{ϵ}{2})) | x ∈ X\} za X, recimo U_{x_{1}}, …, U_{x_{n}}. Tedaj je

⋂_{i=1}^{n} G(\overline{U}_{x_{i}}, K(f(x_{i}), ϵ)) ⊂ G(f, ϵ),

torej je G(f, ϵ) odprta tudi v kompaktno-odprti topologiji. Množica oblike G(f, ϵ) v C(IR) ni nikoli odprta v kompaktno-odprti topologiji.

c) Najprej opazimo, da za vsak odprt V ⊆ Y velja: y ∈ V ⇔ F y ∈ G(K, V) za poljuben kompakt K ⊆ X. Če je y ∈ Y in G(K, V) bazična odprta okolica, ki vsebuje F y, sledi F (V) ⊆ G(K, V), torej je F zvezna. Po drugi strani, če je V odprta okolica y, za poljuben kompakt K ⊆ X velja G(K, V) ∩ F (Y) ⊆ F (V), kar pomeni, da je F odprta kot preslikava F : Y → F (Y). Ker je F očitno tudi injektivna sledi, da je vložitev.

d) Zaradi točke c) lahko gledamo Y kot podprostor C(X, Y), zato je jasno, da iz C(X, Y) ∈ T_{2} sledi Y ∈ T_{2}. Če f ≠ g v C(X, Y), potem obstaja x_{0} za katerega je f(x_{0}) ≠ g(x_{0}). Če je Y Hausdorffov, obstajata disjunktni okolici U in V za, po vrsti, f(x_{0}) in g(x_{0}). Tedaj sta G(x_{0}, U) in G(x_{0}, V) disjunktni okolici za f in g.

e) Podobno kot prej sklepamo, da iz regularnosti C(X, Y) sledi regularnost Y. Privzemimo, da je Y regularen in naj bo f ∈ G(K, V) kjer je K ⊂ X kompaktna in V ⊂ Y odprta. Ker je tudi f(K) kompaktna, obstaja takšna odprta množica U, da je f(K) ⊂ U ⊂ \overline{U} ⊂ V. Ker je G(K, U) odprta okolica f, bo za dokaz regularnosti C(X, Y) zadoščalo, če se prepričamo, da je \overline{G(K, U)} ⊂ G(K, V). Najprej opazimo, da velja \overline{G(K, U)} ⊂ G(K, \overline{U}): če namreč f ∉ G(K, \overline{U}), potem je f ∈ G(x, \overline{U}^{c}) za nek x ∈ K, množica G(x, \overline{U}^{c}) pa je odprta in ne seka G(K, U), zato ne seka \overline{G(K, U)}, torej f ∉ \overline{G(K, U)}. Od tod sledi \overline{G(K, U)} ⊂ G(K, \overline{U}) ⊂ G(K, V).

g) Vsak kompakt K ⊂ K(0, R) je vsebovan v nekem zaprtem disku \overline{K}(0, R′), kjer je R′ < R, iz analize pa vemo, da na \overline{K}(0, R′) vrsta konvergira enakomerno.

55. Naj bo {U_{λ}} pokritje X z relativno kompaktnimi odprtimi okolicami (\overline{U}_{λ} so kompaktne). Ker je f odprta surjekcija, je družina {f(U_{λ})} odprto pokritje kompakta K, zato ima končno podpokritje \{f(U_{λ_{1}}), …, f(U_{λ_{n}})\}. Tedaj je \overline{U_{λ_{i}} ∩ f^{−1}(K)} = \overline{U}_{λ_{i}} ∩ f^{−1}(K) kompaktna za vsak i = 1, …, n, torej je C := ⋃_{i=1}^{n} \overline{U}_{λ_{i}} ∩ f^{−1}(K) kompaktna in velja f(C) = K.

56. Prostor X je lokalno kompakten, torej je A lokalno zaprt in se ga da zapisati kot A = U ∩ F, kjer je U odprta, F pa zaprta v X. Ker je A gosta v X in A ⊂ F, sledi F = X in zato je A = U, torej je A odprta v X.

57. Izberimo x ∈ ⋃_{λ} K_{λ}. Zaradi lokalne končnosti, obstaja okolica U ⊂ X točke x, ki seka le končno mnogo članov družine, recimo K_{λ_{1}}, …, K_{λ_{n}}. Tedaj je U ∩ ⋃_{λ} K_{λ} = ⋃_{i=1}^{n} K_{λ_{i}} relativno kompaktna okolica točke x v ⋃_{λ} K_{λ}.

58. a) Naj bo f : IR → (−1, 1) homeomorfizem iz 15. naloge. Tedaj je h(x) := (\frac{1}{2}(f(x)+1) cos x, \frac{1}{2}(f(x)+1) sin x) preslikava, ki premico homeomorfno preslika na spiralo v disku z radijem 1. Postavimo Y := S^{1} ∪ {h(x) | x ∈ IR} ∪ {(0, 0)}, h je gosta vložitev premice v Y in Y − h(IR) = S^{1} ∪ {(0, 0)}.

b) Podobno kot a), le da premico homeomorfno preslikamo na spiralo med krožnicama S^{1} in 2S^{1} s pomočjo h(x) := (\frac{1}{2}(f(x) + 3) cos x, \frac{1}{2}(f(x) + 3) sin x) in postavimo Y := S^{1} ∪ h(IR) ∪ 2S^{1}.

c) En poltrak premice spiralno navijemo na krožnico z notranje, drugega pa z zunanje strani, povežemo ju pa čez tretjo dimenzijo.

d) Preslikava f : (−π, π)^{2} → IR^{3}, podana z

f : (u, v) ↦ (cos u (2 + cos v), sin u (2 + cos v), sin v)

je vložitev in njeno zaprtje je ravno torus. To je torej kompaktifikacija ravnine IR^{2} ≈ (−π, π)^{2} z unijo dveh krožnic, ki imata eno točko v preseku.

e) Denimo, da je K kompakten Hausdorffov prostor in da je K − h(IR^{2}) = {a_{1}, …, a_{n}} pri n ≥ 2. Potem obstajata taki disjunktni odprti množici U, V, da je a_{1} ∈ U in {a_{2}, …, a_{n}} ⊂ V. Množica C := K − (U ∪ V) je zaprta in zato kompaktna, ker pa je C ⊂ h(IR^{2}), sledi, da je h^{−1}(C) tudi kompaktna (h je homeomorfizem na sliko), torej vsebovana v disku D := K(0^{2}, R) za kak dovolj velik R. Tedaj sta U′ := h^{−1}(U) ∩ D^{c} in V′ := h^{−1}(V) ∩ D^{c} disjunktni odprti množici v IR^{2} in U′ ∪V′ = D^{c}, kar je nemogoče, ker je D^{c} povezan.

f) Da. Za preprost opis bomo uporabili nalogo 138. Prostor IR^{3} je homeomorfen Int B^{3}. Zvezno surjekcijo S^{2} = Fr B^{3} na S^{1} podamo v dveh korakih: najprej S^{2} projeciramo na prvo komponento in dobimo kot sliko interval [−1, 1], nato pa [−1, 1] ‘navijemo’ na S^{1} in uporabimo rezultat prej omenjene naloge. Lahko bi podali tudi direktni opis, vendar bi bil ta preveč zapleten.

59. a) Naj bo U ⊂ X odprta. Moramo pokazati, da njen presek z ⋂_{1}^{∞} U_{n} ni prazen. Ker je U ∩ U_{1} neprazna in odprta množica, obstaja krogla \overline{K}(x_{1}, r_{1}) ⊂ U ∩ U_{1}, kjer je r_{1} < 1. Presek K(x_{1}, r_{1}) ∩ U_{2} je spet neprazen in odprt, zato obstaja krogla \overline{K}(x_{2}, r_{2}) ⊂ K(x_{1}, r_{1}) ∩ U_{2}, pri čemer je r_{2} < \frac{1}{2}. Če ta postopek nadaljujemo, dobimo zaporedje vloženih krogel {K(x_{n}, r_{n})}, pri katerem je r_{n} < \frac{1}{n}. Zato je zaporedje \{x_{n}\} Cauchyjevo in v polnem prostoru X ima limito, recimo x. Točka x je vsebovana v zaprti krogli \overline{K}(x_{n}, r_{n}) za vse n, kar pomeni, da je tako v U, kot v vseh U_{n}, torej tudi v preseku U ∩ ⋃_{1}^{∞} U_{n}.

b) Zato, ker bi se tedaj lahko zgodilo, da je presek prazen. Na primer CQ in IR − CQ sta gosti množici v IR, nista pa odprti in njun presek je prazen. Prav tako je prazen nešteven presek odprtih gostih množic oblike IR − {x} za vse x ∈ IR.

c) Sklepamo podobno, kot v točki a), le da krogle zamenjamo z relativno kompaktnimi okolicami. Presek U ∩ U_{1} je neprazen in odprt, torej obstaja točka x_{1}, ki je v preseku, in takšna njena relativno kompaktna okolica K_{1}, da je kompakt \overline{K}_{1} ⊂ U ∩ U_{1}. Tako kot prej nadaljujemo ta postopek in dobimo padajoče zaporedje kompaktov \{\overline{K}_{n}\} z nepraznim presekom, vsebovanim v

U in vseh U_{n}.

d) IN v IR in CQ ter CQ × IN v IR^{2}.

e) Množica prve kategorije je oblike A = ∪_{i=1}^{∞}A_{i}, kjer je Int(\overline{A_{i}}) = ∅ za vse i, zato je X − A = X − ∪_{i=1}^{∞}A_{i} ⊇ X − ∪_{i=1}^{∞}\overline{A_{i}} = ∩_{i=1}^{∞}(X − \overline{A_{i}}). To pomeni, da X − A vsebuje gosto množico, torej je tudi sam gost, zato A ne more vsebovati nobene neprazne odprte množice.

60. Da. Naj bo A := I − \{1\}, B := I − \{\frac{1}{2}\}. Tedaj je I ≈ A^{+} ≈ B^{+}, vendar pa A ≉ B.

61. Naj bo X := IR^{2} in A := IR×0. Tedaj vložitev A ↪ X lahko razširimo do vložitve A^{+} = S^{1} ↪ S^{2} = X^{+}. Nasprotno, naj bo X := [0, 1) in A := (0, 1). Tedaj se A^{+} = S^{1} ne da vložiti v X^{+} = [0, 1].

62. a) X^{+} := ⋃_{n=1}^{∞} S((\frac{1}{n}, 0), \frac{1}{n}), vložitev prostora X v X^{+} pa je dana z

(\frac{1}{n}, y) ↦ (\frac{8}{n(4 + n^{2}y^{2})}, \frac{4y}{4 + n^{2}y^{2}} ).

b) Bodi A := ZZ−\{0\}. Tedaj Y^{+} := ⋃_{n∈A}(\{\frac{1}{n}\}×[−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}])∪\{(0, 0)\}, (1 − \frac{1}{n}, y) ↦ (\frac{1}{n}, \frac{y}{n})

c) Z^{+} := ⋃_{n=1}^{∞} S((0, 0), \frac{1}{n}) ∪ \{(0, 0)\}, (x, y) ↦ (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} , \frac{y}{x^{2}+y^{2}} )

10.3 Povezanost

63. Prostor X je povezan, Y pa ni.

64. Edine povezane množice v CQ so singletoni, zato je zvezna preslikava iz IR, katere slika je vsebovana v CQ, nujno konstantna. Na izbiro pa je le števno mnogo konstant.

65. b) Bazični sistem okolic v izhodišču sestavljajo običajne, evklidske krogle, v poljubni drugi točki x pa odprti intervali s središčem v x na premici, ki gre skozi x in izhodišče.

c) Da, saj je topologija, ki je inducirana na premicah skozi izhodišče, običajna evklidska, kar pomeni, da so vse točke povezane s potjo do izhodišča.

66. Izberimo različni točki x, y z d(x, y) = r. Za vsak t ∈ [0, r] obstaja točka z, za katero je d(x, z) = t, ker bi v nasprotnem primeru dobili separacijo U := {z | d(x, z) < t} in V := {z | d(x, z) > t} povezanega prostora.

67. Funkcija f : M → IR, f : z ↦ d(x, z) − d(z, y) je zvezna. Če je x = y, je konstantno enaka nič, v nasprotnem primeru pa zavzame tako pozitivne kot negativne vrednosti (f(x) = −d(x, y), f(y) = d(x, y)), torej spet ima vsaj eno ničlo.

68. Ker sta f in g zvezni surjekciji, ne more veljati f(x) > g(x) za vse x ∈ X, ker tedaj f ne bi zavzel ničle. Podobno, ne more veljati f(x) < g(x) za vse x ∈ X. Sledi, da funkcija f − g : X → [−1, 1] zavzame tako pozitivne kot negativne vrednosti. Ker je X povezan, obstaja tak x ∈ X, da je f(x) − g(x) = 0.

69. Da, saj je projekcija na abscisno os homeomorfizem.

70. Izberimo x ∈ X. Ker je singleton {f(x)} zaprt v Y, je množica U := f^{−1}f(x) zaprta v X. Po drugi strani ima, zaradi lokalne konstantnosti funkcije f, vsaka točka iz U okolico, ki je cela vsebovana v U, kar pomeni, da je U tudi odprta. Ker je X povezan, je nujno X = U, torej je f konstantna.

71. Idempotenti v C(X) so natanko tiste zvezne funkcije f : X → IR, ki zavzamejo le vrednosti 0 in 1 in niso identično enake 0. Če v C(X) obstaja idempotent f, ki ni identično enak 1, je f^{−1}(0) = f^{−1}((−\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) odprta in zaprta prava podmnožica prostora X, torej X ni povezan.

Obratno, če je X nepovezan, ima pravo podmnožico, ki je hkrati zaprta in odprta in njena karakteristična funkcija je idempotent, različen od enote.

72. Za poljubni dve točki v X − A je družina vseh krožnih lokov, ki ju vsebujejo, neštevna. Ker se poljubna dva loka sekata le v teh dveh točkah, je jasno, da obstaja lok, ki ne vsebuje nobene točke iz A, torej je X − A celo s potmi povezan. (Lahko bi namesto krožnih lokov vzeli družino poligonalnih lokov in dobili, da je X − A povezan tudi z poligonalnimi loki).

73. Naj bo A_{n} := IR^{2} − ((−∞, n] × 0). Tedaj je A_{0} ⊃ A_{1} ⊃ A_{2} ⊃ …, vsi A_{n} so povezani, njihov presek ∩A_{n} = IR^{2} − IR × 0 pa je nepovezan.

74. Privzemimo, da C ne seka roba A. Tedaj je C = (Int A∩C)∪(Int(X − A)∩C), kar je separacija C v dve neprazni, odprti množici. Protislovje.

75. Denimo, da je f(a) < f(b) za a, b ∈ S^{1}. Označimo loka, med a in b v S^{1} z L_{1} in L_{2}. Zaradi povezanosti lokov zavzameta preslikavi f|_{L_{1}} in f|_{L_{2}} vse vrednosti med f(a) in f(b), torej ima vsaka točka na intervalu (f(a), f(b)) ⊂ I vsaj po dve točki v prasliki.

76. a) Linearne izometrije IR vase so le množenja z 1 in −1.

b) Podobno kot v točki a), so linearne izometrije CC vase le množenja s številom, ki ima normo 1, torej je U(1) ≈ S^{1}. Matrika

A = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ SO(2)

je določena s pogoji a^{2} +b^{2} = c^{2} +d^{2} = 1, ac+bd = 0 in ad−bc = 0. Zaradi prvih dveh lahko pišemo a = cos φ, b = sin ψ, c = cos φ, d = sin ψ, iz ostalih dveh pa dobimo sin(φ + ψ) = 0 in cos(φ + ψ) = 1, zato je matrika nujno oblike

A = [ \begin{matrix}cos φ & sin φ \\ − sin φ & cos φ \end{matrix} ] ,

torej je SO(2) ≈ S^{1}.

c) Podobno kot v točki b) dobimo, da so matrike v SU(2) nujno oblike

A = [ \begin{matrix}a & b \\ −b̄ & ā \end{matrix} ] ,

kjer sta a, b ∈ CC vezana s pogojem |a|^{2} + |b|^{2} = 1, torej lahko identificiramo SU(2) z S^{3}.

d) Pokažimo najprej, da je U(n) s potmi povezana za vsak n ∈ IN. Poljubna A ∈ U(n) je normalna, zato obstaja v C^{|}^{|} ^{n} ortonormirana baza lastnih vektorjev matrike A, v kateri A pripada diagonalna matrika D = Diag{ d_{1}, …, d_{n} }, kjer je d_{k} ∈ S^{1}. Če označimo s P prehodno matriko lastnih vektorjev, velja A = P DP^{∗}. Naj bo d_{k} = e^{iα_{k}}, kjer je α_{k} ∈ [0, 2π) za k = 1, …, n. Definiramo še poti c_{k}: I → S^{1} s predpisom c_{k}(t) := e^{i(1−t)α_{k}}. Potem je L(t) := P Diag{ c_{1}(t), …, c_{n}(t) }P^{∗} zvezna preslikava I → U(n), torej pot od L(0) = A do L(1) = I. Če je A ∈ SU(n) in če v zgornjem dokazu na mesto c_{n}(t) := e^{i(1−t)α_{n}} postavimo c_{n}(t) := (c_{1}(t) ⋯ c_{n−1}(t))^{−1} dobimo pot od A do I, ki je vsebovana v SU(n), torej je tudi SU(n) s potmi povezana. Specialna ortogonalna grupa SO(n) je tista podrupa v O(n), ki je praslika točke 1 pri funkciji det; iz dokaza točke e) sledi, da je SO(n) komponenta za povezanost v O(n). Poleg tega vidimo, da je podgrupa indeksa 2 in zato edinka.

e) Grupa O(n) ima za vsak n ∈ IN natanko dve komponenti za povezanost (s potmi). Funkcija det: O(n) → IR je zvezna, poleg tega velja det(A)^{2} = 1 za vsako A ∈ O(n), torej det(O(n)) ⊂ S^{0}. Ker je det(I) = 1 in det(Ĩ) = −1, kjer je Ĩ = Diag{ −1, 1, …, 1 }, torej ima zaradi surjektivnosti funkcije det prostor O(n) vsaj dve komponenti. Pokazali bomo še, da ima največ dve komponenti za povezanost s potmi. Poljubna A ∈ O(n) je unitarna nad C^{|}^{|} ^{n} in ima realen karakteristični polinom, torej so lastne vrednosti lahko le 1, −1 ali pa nastopajo v konjugiranih parih e^{iφ}, e^{−iφ}. Kot zgoraj velja, da je A unitarno podobna diagonalni matriki, toda tokrat potrebujemo podobnost nad IR. Spremeniti moramo torej del, ki pripada kompleksnim lastnim vrednostim. Naj bo λ_{1} := e^{iφ} in λ_{2} := e^{−iφ} = λ̄_{1}. Predpostaviti smemo, da za (kompleksna) lastna vektorja x_{1} in x_{2} velja x_{2} = x̄_{1}; poleg tega velja < x_{1}, x_{2} >= 0. Če zapišemo x_{1} = y_{1} + iy_{2}, kjer sta y_{1} in y_{2} realna vektorja, se lahko prepričamo, da A na ta deluje takole:

A [ \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ] [ \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ] .

Poleg tega iz ortogonalnosti x_{1} in x_{2} sledi, da sta y_{1} in y_{2} enako dolga in pravokotna. Dobljena vektorja še normiramo in ta postopek ponovimo za vse pare konjugiranih kompleksnih lastnih vrednosti. Tako dobimo realno ortonormirano bazo (in tej pripadajočo prehodno ortogonalno matriko P), v kateri se A izraža kot A = P Diag{ −1, … − 1, 1, …, 1, R_{φ_{1}}, …, R_{φ_{k}} }P^{T}; pri tem je R_{φ} matrika, ki predstavlja rotacijo za kot φ (φ ∈ [0, 2π)) v IR^{2} kot zgoraj. Med matrikami R_{φ} najdemo tudi Diag{ 1, 1 } in Diag{ −1, −1 }. Za vsak φ ∈ [0, 2π) obstaja pot od R_{φ} do matrike Diag{ 1, 1 }, dana s predpisom t ↦ R_{tφ}. Sedaj enako kot pri unitarnih matrikah sestavimo pot od A do I ali Ĩ (v odvisnosti od parnosti števila lastnih vrednosti, ki so enake −1).

f) Nadalje pokažimo, da je splošna linearna grupa G := GL(n, C^{|}^{|} ) povezana za vsak n ∈ IN. Naj bo P (n) := { A ∈ G | A^{∗} = A, A > 0 }. Pokazali bomo, da je G ≈ U(n)×P (n). Za U ∈ U(n) in P ∈ P (n) je (U, P) ↦ UP zvezna preslikava U(n) × P (n) → G, njen inverz pa je dan z A ↦ (A(\sqrt{A^{∗}A})^{−1}, \sqrt{A^{∗}A}), torej P = \sqrt{A^{∗}A} in U = A(\sqrt{A^{∗}A})^{−1}. Velja

< A^{∗}Ax, x >=< Ax, Ax >= ||Ax||^{2} > 0

za vsak x ≠ 0, saj 0 ni lastna vrednost za A ∈ G. Od tod sledi, da je P pozitiven. Direkten račun pokaže, da je U unitarna in da sta zgornja predpisa medsebojno inverzna. Za dokaz trditve torej zadošča videti le, da je P (n) povezan. Vsak P ∈ P (n) lahko zapišemo kot P = S Diag{ λ_{1}, …, λ_{n} }S^{∗}, kjer so vsi λ_{k} > 0. Naj bo h_{k} : I → IR linearna pot od h_{k}(0) = λ_{k} do 1 (ki očitno poteka le po pozitivnih številih). Potem je P (t) = S Diag{ h_{1}(t), …, h_{n}(t) }S^{∗} pot od P do I po P (n). Pri študiju (ne)povezanosti prostora GL(n, IR) kot v kompleksnem primeru vidimo, da je GL(n, IR) ≈ O(n) × P (n, IR) in da je P (n, IR) s potmi povezan. Torej ima GL(n, IR) natanko dve komponenti za povezanost (s potmi).

77. a) Upoštevali bomo oznake iz 90. naloge. Če obstaja preslikava H : X ×I → Y z omenjenimi lasnostmi, je po točki a) 90. naloge, funkcija Ĥ : I → C(X, Y) zvezna, torej pot od Ĥ(0) = f do Ĥ(1) = g. Obratno, če obstaja pot Ĥ : (I, 0, 1) → (C(X, Y), f, g) je, zaradi privzete lokalne kompaktnosti X in točke b) 90. naloge, zvezna tudi prirejena funkcija H : X × I → Y, za katero je H(x, 0) = f(x) in H(x, 1) = g(x). b) Če je F : f_{1} ≃ f_{2} in G : g_{1} ≃ g_{2}, potem je H : X × I → Z,

podana z H(x, t) := G(F (x, t), t), homotopija od g_{1}f_{1} do g_{2}f_{2}.

c) Homotopija H : X × I → IR^{n} med poljubnima preslikavama f, g : X → IR^{n} je dana z

H(x, t) := (1 − t)f(x) + tg(x).

Označimo s c : IR^{n} → Y konstantno funkcijo, katere slika je nek y_{0} ∈ Y. Za poljubno f : IR^{n} → Y izberimo pot p : (I, 0, 1) → (Y, f(0), y_{0}) in definirajmo homotopijo H : f ≃ c z

H(x, t) := \{ \begin{matrix}f((1 − 2t)x) & 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2} \\ p(2t − 1) & \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix} .

d) Če je X kontraktibilen, je C(X, X) povezan, zato obstaja pot - homotopija od id_{X} do c. Obratno, če je id_{X} ≃ c, je zaradi točke b) za poljubno preslikavo f : X → X c = c^{∘}f ≃ id_{X} ^{∘}f = f.

e) Dokaz za C(Y, X): če sta f, g : Y → X je f = id_{X} ^{∘}f ≃ c^{∘}f = c^{∘}g ≃ id_{X} ^{∘}g = g.

78. Pokazati moramo, da obstaja homotopija H : f ≃ id_{B^{n}} : B^{n}×I → B^{n}, ki miruje na S^{n−1} × I, za katero je H|_{B^{n}×{t}} homeomorfizem za vsak t ∈ I. Definiramo jo takole:

H(x, t) := \{ \begin{matrix}x & ∥x∥ ≥ t \\ tf(\frac{x}{t}) & ∥x∥ ≤ t \end{matrix} .

Očitno je H(x, 0) = id_{B^{n}} in H(x, 1) = f(x). Za vsak t je H|_{B^{n}×{t}} očitno zvezna, njen inverz pa je dan z

h_{t}(x) := \{ \begin{matrix}x & ∥x∥ ≥ t \\ tf^{−1}(\frac{x}{t}) & ∥x∥ ≤ t \end{matrix} ,

ki je tudi zvezna.

79. Homotopijo H : X × I → S^{n} lahko definiramo z

H(x, t) := \frac{(1 − t) f(x) + t g(x)}{∥(1 − t) f(x) + t g(x)∥}.

Ker preslikavi nista antipodni, je imenovalec vedno od nič različen, torej je H dobro definirana zvezna.

80. Izberimo x ∈ S^{n} − f(X) in označimo z g konstantno preslikavo, ki ves X preslika v −x. Preslikavi f in g nista antipodni, torej sta po prejšnji nalogi homotopni.

81. b) Preverimo, podobno kot za C, da je K popolnoma nepovezan

metrični kompakt brez izoliranih točk, nato pa uporabimo izrek.

c) Očitno je C × C ≈ K, od prej pa vemo, da je K ≈ C.

d) Da, saj ustreza pogojem izreka.

e) Ne, ker C × IN ni kompakten.

f) Prostor X ×C je popolnoma nepovezan metrični kompakt, ker se te lastnosti ohranjajo pri končnih produktih. Za poljubno točko (x, c) ∈ X × C obstaja zaporedje {c_{n}} v C, ki konvergira k c, kar pomeni, da zaporedje {(x, c_{n})} konvergira k (x, c), torej X × C nima izoliranih točk.

g) Preslikava f : X → X × C ≈ C, f : x ↦ (x, 0) je iskana vložitev.

82. Na primer Varšavska krožnica je lokalno kompaktna (celo kompaktna), ni pa lokalno povezana.

83. Naj bo x točka v povezani odprti množici U ⊆ IR^{n}. Označimo z A množico vseh tistih točk iz U, ki so povezane z x s kakšno (poligonalno) potjo. Za vsako točko y ∈ A obstaja krogla K(y, r) ⊂ U in vsaka točka z iz te krogle je povezana s točko x s potjo, ki gre od x do y, podaljšano z daljico od y do z, torej je A odprta. Po drugi strani ima tudi vsaka točka y ∉ A okolico K(y, r) ⊂ U, ki ne seka A. Če bi namreč obstajal kak z ∈ K(y, r)∩A, bi lahko povezali x in z in dobljeno pot podaljšali po daljici od z do y. Sledi, da je A tudi zaprta in ker je neprazna, je A = U.

84. Če je X lokalno povezan, so njegove komponente odprte, torej so točke v X/D odprte, saj so njihove praslike natanko komponente. Če je X Varšavska krožnica, je povezan in X/D je singleton, torej diskreten prostor, čeprav X ni lokalno povezan.

10.4 Produkti

85. Diagonala D je zaprta, natanko takrat, ko za poljubna različna x, y ∈ X obstaja bazična (škatlasta) okolica U_{x} × U_{y} točke (x, y), ki ne seka diagonale. Takšna okolica pa obstaja če in samo če obstajata disjunktni odprti okolici U_{x} za x in U_{y} za y.

86. Definiramo preslikavo F : X × Y → Y × Y z F (x, y) := (f(x), y). Preslikava F je očitno zvezna, praslika diagonale D v Y × Y, ki je zaprta, ker je Y Hausdorffov, je ravno graf Γ_{f}, ki je torej tudi zaprt.

87. Dokazali bomo, da f preslika konvergentna zaporedja v konvergentna. Za poljubno konvergentno zaporedje (x_{n}) → x v X je, zaradi kompaktnosti Y, množica stekališč zaporedja (f(x_{n})) neprazna. Naj bo y ∈ Y poljubno stekališče in (f(x_{n_{i}})) podzaporedje, ki konvergira proti y. Tedaj je ((x_{n_{i}}, f(x_{n_{i}})) podzaporedje v Γ_{f}, ki konvergira proti (x, y), torej zaradi zaprtosti grafa sledi y = f(x). Ker je bilo stekališče y poljubno, sklepamo, da je to edino stekališče in, ponovno zaradi kompaktnosti Y, tudi limita zaporedja (f(x_{n})). Trditev drži tudi, če ne privzamemo metrizabilnosti. Če je A ⊂ Y zaprt, je pr_{Y}^{−1}(A) ∩ Γ_{f} zaprt v X × Y. Ker je projekcija pr_{X} vzdolž kompakta Y zaprta preslikava, je f^{−1}(A) = pr_{X}(pr_{Y}^{−1}(A) ∩ Γ_{f}) tudi zaprta, torej je f zvezna.

88. Naj bo H_{i} kontrakcija prostora X_{i} v a_{i} ∈ X_{i}, za i = 1, 2. Tedaj je H : X_{1}×X_{2}×I → X_{1}×X_{2}, podana s H(x_{1}, x_{2}, t) := (H_{1}(x_{1}, t), H_{2}(x_{2}, t)), kontrakcija X_{1} × X_{2} v točko (a_{1}, a_{2}).

89. a) Naj bo F ⊂ X × Y zaprta in naj bo x ∈ X − p(F). Vsaka točka (x, y) ∈ {x}×Y ima škatlasto okolico U_{y}×V_{y}, ki ne seka F. Ker je družina vseh U_{y} × V_{y} odprto pokritje kompakta {x} × Y, obstaja končno podpokritje {U_{y_{i}} × V_{y_{i}} | i = 1, …, n}. Presek ⋂_{i=1}^{n} U_{y_{i}} je odprta okolica točke x, ki ne seka p(F), torej je X −p(F) odprta. Sledi, da je p zaprta preslikava.

b) Privzeti smemo, da je U odprta okolica za A × K. Po prejšnji točki je p : X × K → X zaprta, torej je množica V := X − p(X × K − U) odprta, vsebuje A in V × K = p^{−1}(X − p(X × K − U)) = X × K − p^{−1}p(X × K − U) ⊆ U.

90. a) Naj bo G(K, V) podbazična okolica funkcije Ĥ(x) ∈ C(Y, Z). To pomeni, da je kompakt {x} × K ⊂ H^{−1}(V). Po točki b) 89. naloge obstaja takšna okolica U točke x, da je U × K ⊂ H^{−1}(V) oziroma, Ĥ(U) ⊂ G(K, V). Sledi, da je Ĥ zvezna.

b) Naj bo za (x, y) ∈ X × Y dana odprta okolica W ⊂ Z točke [Ĥ(x)](y) = H(x, y). Ker je Ĥ(x) zvezna in ker je Y lokalno kompakten (kar pomeni, da ima bazo iz relativno kompaktnih okolic), obstaja takšna relativno kompaktna okolica V ⊂ Y točke y, da je [Ĥ(x)](\overline{V}) ⊂ W. To pomeni, da je Ĥ(x) ⊂ G(\overline{V} , W) in zaradi zveznosti Ĥ obstaja U ⊂ X odprta okolica x, pri kateri je Ĥ(U) ⊂ G(\overline{V} , W). Tedaj je H(U × V) ⊂ W, torej je H zvezna.

91. Ker se popolna nepovezanost, metrizabilnost in kompaktnost ohranjajo pri števnih produktih, zadošča, če pokažemo, da P = ∏_{m} X_{m}

nima izoliranih točk. Tipična bazična okolica točke (x_{1}, x_{2}, …) ∈ P je oblike U = ⟨U_{n_{1}}, …, U_{n_{k}}⟩, kjer je U_{i} ⊂ X_{i} odprta okolica točke x_{i}. Če je n večji od vseh indeksov n_{j} in x_{n} ≠ y_{n} ∈ X_{n}, je točka (x_{1}, …, x_{n−1}, y_{n}, x_{n+1}, …) ∈ U. Sklepamo, da (x_{1}, x_{2}, …) ni izolirana točka.

92. Imejmo števno družino metričnih prostorov (X_{n}, d_{n}), n = 1, 2, . . .. Zlahka preverimo, da je d((x_{n}), (y_{n})) := sup \{\frac{d_{n}(x_{n},y_{n})}{n(1+d_{n}(x_{n},y_{n}))} | n ∈ IN\} metrika na ∏_{n} X_{n}. Pokazali bomo, da je topologija, ki jo d porodi,

ravno produktna topologija. Oglejmo si kroglo K_{d}((x_{n}), r). Obstaja tak k, da je r > \frac{1}{k} > \frac{d_{n}(x_{n},y_{n})}{k(1+d_{n}(x_{n},y_{n}))}. Tedaj je

⟨K_{d_{1}} (x_{1}, r) , …, K_{d_{k}} (x_{k}, r)⟩ ⊂ K_{d}((x_{n}), r).

Obratno, če je U := ⟨K_{d_{1}}(x_{1}, r_{1}), …, K_{d_{k}}(x_{k}, r_{k})⟩ bazična odprta množica v produktni topologiji, vzamemo r := min\{\frac{r_{j}}{j(1+r_{j})} | j = 1, …, k} in vidimo, da velja K_{d}((x_{n}), r) ⊆ U. Iz povedanega sledi, da je števni produkt metričnih prostorov metrizabilen. Za obratno trditev privzemimo, da je družina {(X_{λ}, d_{λ}) | λ ∈ Λ} neštevna. Naj bo (x_{λ}) ∈ ∏ X_{λ} in naj bo {U_{n} | n ∈ IN} števna družina njegovih okolic. Vsakemu n priredimo takšno končno podmnožico A(n) = {λ_{1}, …, λ_{k}} ⊂ Λ, da je ⟨V_{λ_{1}}, …, V_{λ_{k}}⟩ ⊂ U_{n}. Ker je Λ neštevna, obstaja λ ∈ Λ, ki ni vsebovan v nobeni izmed množic A(n) in zato ⟨V_{λ}⟩ ne vsebuje nobene množice U_{n}, torej {U_{n} | n ∈ IN} ni baza okolic točke (x_{λ}).

93. Opisana konvergenca zaporedja je običajna konvergenca po točkah, to pa je ravno konvergenca v produktni topologiji prostora CCIN. Ker je produkt števen, je po 92. nalogi tudi metrizabilen.

94. b) Funkcija v produkt je zvezna, če so zvezne vse njene komponente,

kar v našem primeru drži že po konstrukciji.

c) Naj bo x ∈ X in U njegova odprta okolica. Po predpostavki obstaja tak λ, da f_{λ}(x) ∉ \overline{f_{λ}(X − U)}. Ker je F (x) ∈ ⟨\overline{f_{λ}(X − U)}^{c}⟩∩ F (X) ⊂ F (U), je F (U) odprta v F (X), torej je F : X → F (X) odprta preslikava.

95. Dokaz je praktično enak v vseh primerih, zato si oglejmo O(n). Če sta dana A, B ∈ O(n) in ϵ > 0 (in manjši od 1), izberemo δ < \frac{ϵ}{∥A∥+∥B∥+1} in vzamemo A′, B′ ∈ O(n), za katera je ∥A−A′∥ < δ in ∥B −B′∥ < δ. Tedaj je

∥AB −A′B′∥ ≤ ∥A∥ ∥B −B′∥+∥B′∥ ∥A−A′∥ ≤ δ(∥A∥+∥B∥+1) < ϵ,

kar pomeni, da je množenje zvezno. Podobno, če sta A, B ∈ O(n) velja

∥A^{−1}−B^{−1}∥ = ∥A^{−1}(B−A)B^{−1}∥ ≤ ∥A^{−1}∥ ∥(B−A)∥ ∥B^{−1}∥ = ∥A−B∥,

torej je tudi obračanje matrik zvezno. Ker je O(n) zaprta (saj je praslika identitete I ∈ O(n) pri zvezni funkciji A ↦ A^{T} A) in omejena (∥A∥ = 1, za vse A ∈ O(n)) v IR^{n}, je kompaktna.

96. Množica {−1, 1} je topološka grupa za množenje. Ker je produkt topoloških grup tudi topološka grupa, je {−1, 1}IN tudi topološka grupa, po 91. nalogi pa je homeomorfna Cantorjevi množici.

97. a) Naj bosta f, g ∈ C(X) in naj bo G(x, V) podbazična odprta okolica točke f + g ((f + g)(x) ∈ V). Ker obstaja tak ϵ > 0, da je ((f + g)(x) − ϵ, (f + g)(x) + ϵ) ⊂ V, je G(x, (f(x) − \frac{ϵ}{2}, f(x) + \frac{ϵ}{2})) × G(x, (g(x) − \frac{ϵ}{2}, g(x) + \frac{ϵ}{2}) odprta okolica točke (f, g) ∈ C(X) × C(X), ki se s seštevanjem preslika v G(x, V). Podobno, naj bo λ ∈ IR, G(x, V) podbazična odprta okolica točke λf in ϵ > 0 poljuben. Če za kak δ > 0 izberemo λ′ ∈ (λ−δ, λ+δ) in f′ ∈ G(x, (f(x) − δ, f(x) + δ) dobimo oceno

|λ′f′(x)−λf(x)| ≤ |λ′||f′(x)−f(x)|+|λ′−λ||f(x)|< δ(|λ′|+|f(x)|).

Jasno je, da lahko izberemo tak δ, da je δ(|λ′| + |f(x)|) < ϵ, kar pomeni, da je tudi množenje s skalarjem zvezno. Alternativno, lahko opazimo, da je topologija konvergence po točkah ravno produktna topologija na množici IR^{X}, torej je LTP, ker je produkt LTP. b) Dokaz je podoben tistemu iz prejšnje točke. Moramo le upošte-

vati, da zvezna funkcija na kompaktu zavzame maksimum in minimum in zato za f ∈ G(K, V) obstaja tak ϵ > 0, da je (f(x) − ϵ, f(x) + ϵ) ⊂ V za vse x ∈ K.

c) Če bi bil C(IR) LTP, bi bila funkcija Φ : I → C(IR), podana z [Φ(t)](x) := tx, zvezna. Tedaj bi moralo zaporedje funkcij \{Φ(\frac{1}{n})\} ⊂ C(IR) enakomerno konvergirati proti funkciji Φ(0), to pa ni res, ker zaporedje funkcij x ↦ \frac{x}{n} ne konvergira enakomerno proti ničelni funkciji, torej Φ ni zvezna v 0 in C(IR) ni LTP.

98. a) Naj bo ⟨U_{1}, …, U_{k}⟩ okolica točke (x_{n}) = f[(x_{n})] v IRIN. Obstaja tak r > 0, da je (x_{i} − r, x_{i} + r) ⊆ U_{i} za i = 1, …, k, zato je f({(y_{n}) ∈ l^{2} | ∑_{1}^{∞}(y_{n} − x_{n})^{2} < r^{2}}) ⊆ ⟨U_{1}, …, U_{k}⟩, torej je f zvezna. Po drugi strani pa f(K((x_{n}), r)) ni odprta v f(l^{2}), ker v vsaki okolici ⟨U_{1}, …, U_{k}⟩ ∩ l^{2} obstajajo zaporedja s poljubno veliko l^{2}-normo. Sklepamo, da f ni vložitev.

b) Zaradi preprostejšega zapisa, bomo v tej nalogi identificirali I z intervalom [−1, 1]. Funkcija f : \{(x_{n}) ∈ l^{2} | |x_{n}| ≤ \frac{1}{n}\} → IIN, podana z f[(x_{n})] := (n x_{n}), je očitno bijekcija in g : (x_{n}) ↦ (\frac{x_{n}}{n}) je njen inverz. Zveznost f dokažemo kot v prejšnji točki, zveznost g pa takole: če je V := \{(y_{n}) ∈ l^{2} | ∑_{1}^{∞}(y_{n} − \frac{x_{n}}{n})^{2} < r^{2}\} bazična okolica točke (\frac{x_{n}}{n}) = g[(x_{n})] v l^{2}, najprej izberemo tak k, da je ∑_{n=k+1}^{∞}(\frac{2}{n})^{2} < \frac{r^{2}}{2} . Za vsako točko (y_{n}) ∈ U := ⟨K(x_{1}, \frac{r}{\sqrt{2k}}), …, K(x_{k}, \frac{r}{\sqrt{2k}})⟩ velja

∑_{1}^{∞}(\frac{y_{n}}{n} −\frac{x_{n}}{n})^{2} = ∑_{1}^{k}(\frac{y_{n}}{n} −\frac{x_{n}}{n})^{2}+∑_{k+1}^{∞}(\frac{y_{n}}{n} −\frac{x_{n}}{n})^{2} < k(\frac{r}{\sqrt{2k}})^{2}+\frac{r^{2}}{2} = r^{2},

torej je g(U) ⊆ V. Ker je bila okolica V poljubna sledi, da je tudi g zvezna.

c) Hilbertova kocka ima prazno notranjost kot podprostor l^{2}, ker za vsako kroglo K((x_{n}), r) v l^{2} lahko izberemo k > \frac{2}{\sqrt{r}} in tedaj točka (0, …, 0, y_{k} = x_{k} + \frac{r}{2}, 0, …) leži v krogli, v Hilbertovi kocki pa ne. Da pa IIN ne vsebuje nobene okolice oblike ⟨U_{1}, …, U_{k}⟩, je očitno.

99. a) Vemo, da je φ_{a} : G → G, φ_{a} : g ↦ ag homeomorfizem grupe G nase. Jasno je torej, da φ_{a} slika okolice v okolice. Podobno za vsako okolico V točke a velja V = a(a^{−1}V), kjer je a^{−1}V okolica enote. b) Če je H podgrupa G, generirana z elementi U, in h ∈ H, je hU

okolica h v G, ki je vsebovana v H, torej je H odprta.

c) Pokazali bomo, da je G = ⋃_{1}^{∞} U^{n}. Najprej je očitno V := ⋃_{1}^{∞} U^{n} odprta množica, saj je U^{2} = ⋃_{g∈U} gU odprta, po indukciji so tudi vse U^{n} odprte, in V je unija odprtih množic. Za poljuben x ∈ \overline{V}, okolica xU^{−1} seka V, zato obstaja y ∈ xU^{−1} ∩ V, ki je oblike y = u_{1} · . . . · u_{n} = x · u_{n+1}^{−1} za neke u_{i} ∈ U. To pomeni, da lahko x zapišemo kot x = u_{1} · . . . · u_{n} · u_{n+1}, za u_{i} ∈ U. Sklepamo, da je V zaprta, kar zaradi povezanosti G pomeni, da je G = V.

d) Zaradi diskretnosti H obstaja za vsak h ∈ H okolica V ⊂ G, za katero je V ∩ H = {h}. Ker je preslikava f : G × G, f : g ↦ g^{−1}hg zvezna, obstaja okolica enote U, za katero je f(U) = U^{−1}hU ⊂ V. Ker je H edinka, sledi, da za vsak g ∈ U velja g^{−1}hg ∈ V ∩ H = {h}, torej h komutira z vsemi elementi U. Ker je po točki c) grupa G generirana z elementi U, sledi, da h komutira z vsemi elementi G, torej je vsebovan v centru G. Ker to velja za vsak h ∈ H, je H vsebovana v centru G.

100. Naj bosta f : X^{+} → G in g : Y^{+} → G homeomorfizma in naj bo g^{−1}f(∞_{X}) =: y ∈ Y^{+}. Preslikava, ki x ∈ X^{+} preslika v g^{−1}(g(∞_{Y}) · g(y)^{−1} · f(x)) je homeomorfizem med X^{+} in Y^{+}, ki ∞_{X} preslika v ∞_{Y}. Njena restrikcija je iskani homeomorfizem med X in Y.

101. Za izbrana x, y ∈ G je bazična okolica točke xy^{−1} oblike xy^{−1}N, kjer je N edinka v G. Tedaj je xN × yN okolica točke (x, y) v G × G, ki se s funkcijo (x, y) ↦ xy^{−1} preslika v xy^{−1}N, namreč xN × yN → xN(yN)^{−1} = xy^{−1}N, torej sta za to topologijo tako množenje kot določanje inverznega elementa zvezni. Analogen premislek deluje tudi, če vzamemo le edinke končnega indeksa. Obravnavajmo sedaj topološko grupo G s topologijo, generirano z edinkami končnega indeksa. Če sta x, y ∈ G in je G residualno končna, potem obstaja edinka N, končnega indeksa v G, ki ne vsebuje x^{−1}y. Sledi, da je xN ∩ yN = ∅ in G je Hausdorffov prostor. Obratno, naj bo G Hausdorffov prostor in naj bo 1 ≠ x ∈ G. Tedaj obstaja edinka N ⊲G končnega indeksa, ki loči x od enote. Homomorfizem φ : G → G/N preslika G v končno grupo in φ(x) ≠ 1.

10.5 Zvezne realne funkcije

102. Projekcija X iz točke (0, 1) na A je iskana retrakcija.

103. Da. Kontrakcijo X v izhodišče opišemo takole:

H((x, y), t) := \{ \begin{matrix}(x, (1 − 2t)y) & 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2} \\ (2(1 − t)x, 0) & \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix} .

104. Denimo, da X ni kompakten. Tedaj v X obstaja zaporedje (x_{n}) brez stekališča. Ker je X normalen, lahko po Tietzejevem izreku razširimo funkcijo f, definirano na zaprti množici {x_{n}} z f(x_{n}) := n, do zvezne funkcije \overline{f} : X → IR, ki očitno ni omejena.

105. Če sta x in y različni točki v X, lahko izberemo tako odprto okolico U točke x, da y ∉ \overline{U}. Po Tietzejevem izreku obstaja tak f ∈ C(X), da je f|\overline{U} = 0 in f(y) = 1. Prav tako obstaja zvezna funkcija g : X → IR, za katero je g|_{X−U} = 0 in g(x) = 1. Obe f in g sta od nič različni, pa vendar je f · g = 0.

106. a) Retrakcija r : B^{2} × I → X je dana z

r(x, t) := \{ \begin{matrix}(2\frac{∥x∥−t}{2−t} · \frac{x}{∥x∥}, 0) & ∥x∥ ≥ t \\ (0, 2\frac{t−∥x∥}{2−∥x∥}) & ∥x∥ ≤ t \end{matrix}

b) Pokazali bomo na splošno, da je vsak retrakt absolutnega ekstenzorja tudi absolutni ekstenzor. Naj bo X absolutni ekstenzor za nek razred prostorov, r : X → A retrakcija X na podprostor A, i : A ↪ X pa vložitev. Če je B zaprt podprostor v Y in f : B → A zvezna funkcija, potem je i^{∘}f : B → X preslikava, ki jo lahko razširimo do preslikave F : Y → X. Tedaj je kompozitum r^{∘}F : Y → A razširitev preslikave f, torej je A tudi absolutni ekstenzor. V našem primeru je B^{2} × I ≈ I^{3}, torej je absolutni ekstenzor za normalne prostore, X pa je njegov retrakt.

107. Označimo z r retrakcijo X na A. Po privzetku ima kompozitum X →^{r} A →^{g} A ↪^{i} X negibno točko, recimo x. Tedaj iz x = igr(x) sledi r(x) = g(r(x)), torej je r(x) negibna točka preslikave g.

108. Zadoščalo bo, če dokažemo, da ničelna funkcija v C(X) nima števne lokalne baze, sestavljene iz množic G(K, U) = {f ∈ C(X) | f(K) ⊆ U}, kjer je K ⊆ X končna, U ⊆ IR pa odprta. Naj bo torej {G(K_{n}, U_{n}) | n ∈ IN} poljubna števna družina okolic funkcije f ≡ 0. Ker je X nešteven, lahko izberemo x ∈ X−∪_{n} K_{n}. Trdimo, da G (\{x\}, (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2})), ki je okolica f, ne vsebuje nobene množice G(K_{n}, U_{n}). Ker za X velja Tietzejev izrek, je v G(K_{n}, U_{n}) funkcija g, za katero velja g|_{K_{n}} = 0 in g(x) = 1 in torej g ∉ G (\{x\}, (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2})), torej G(K_{n}, U_{n}) ⊈

G (\{x\}, (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2})).

109. a) Ker je F ⊂ A zaprta in a ∉ F, obstajata zaprta množica F_{1} ⊂ X in odprta okolica U ⊂ X točke a, da velja F = F_{1}∩A in F ∩U = ∅. Tedaj je F_{2} := F_{1}−U zaprta množica, ki ne vsebuje a in za katero je F_{2} ∩ A = F. Naj bo f : (X, a, F_{2}) → (I, 0, 1) Urysohnova funkcija. Njena restrikcija na A je iskana preslikava.

b) Ker ima X lastnost T_{1} in ker družina F loči točke od zaprtih množic, iz 94. naloge sledi, da je evaluacija F : X → ∏_{f∈F} I = I^{F} vložitev. Produkt intervalov je kompakten torej normalen.

c) Naj bo x ∈ X in F ⊂ X zaprta množica, ki ne vsebuje x. Tedaj ima x bazično okolico V ⊂ X − F. Zaradi regularnosti obstaja takšna bazična okolica U ∋ x, da je \overline{U} ⊂ V in Urysohnova funkcija f : (X, \overline{U}, X − V) → (I, 0, 1) loči x od F.

d) Po točki c) obstaja števna družina F zveznih funkcij f : X → I, ki loči točke od zaprtih množic. To pomeni, da obstaja vložitev X v števni produkt intervalov, ki je metrizabilen. Prostor X je torej homeomorfen nekemu podprostoru metričnega prostora.

110. Ker je X normalen, ga po 109. nalogi lahko vložimo v nek produkt intervalov, in ker je ta normalen, je X njegov retrakt. Zvezna slika povezanega prostora pa je povezana.

111. Identificirajmo X s komplementom točke v neskončnosti v njegovi kompaktifikaciji X^{+}. Ker je K kompakten, sta K in F ∪ {∞} zaprti, disjunktni podmnožici v X^{+}. Ker je X lokalno kompakten in Hausdorffov, je X^{+} kompakten in Hausdorffov, torej normalen, zato po Urysohnovi lemi obstaja preslikava f : X^{+} → I, za katero je f|_{K} = 0 in f|_{F ∪{∞}} = 1. Restrikcija f na X je iskana preslikava.

112. Naj bosta po vrsti f_{1} : U → IR, g_{1} : V → IR prvi komponenti preslikav f in g. Ker je I^{2} normalen, lahko po Tietzejevem izreku razširimo preslikavo h_{1} : I^{2} −U ∩V → IR, podano z h_{1} |_{U−V}:= f_{1}, h_{1} |_{V −U}:= g_{1}, na cel I^{2}. Podobno sestavimo h_{2} : I^{2} → IR iz drugih komponent preslikav f in g. Tedaj je h := (h_{1}, h_{2}) : I^{2} → IR^{2} iskana preslikava.

113. a) Ker je X kompakten obstaja, za poljuben f iz A, število m := min_{x∈X} |f(x)|, ki je strogo pozitivno. Sledi, da so vse funkcije iz odprte okolice

G (f, \frac{m}{2}) = \{g ∈ C(X) | max_{x∈X} |f(x) − g(x)| < \frac{m}{2}\}

obrnljive, torej je A odprta.

b) Ker je X povezan, zavzame vsaka funkcija f ∈ A bodisi le pozitivne ali le negativne vrednosti. Če bi namreč pri x, y ∈ X veljalo f(x) · f(y) < 0, bi kompozitum f imela ničlo in ne bi bila obrnljiva. Ker pa s pomočjo Tietzejevega izreka lahko sestavimo preslikave v C(X), ki spremenijo predznak, je jasno, da A ne more biti gosta v C(X).

114. Ker je interval kompakten, se kompaktno-odprta topologija ujema s topologijo enakomerne konvergence. Sledi, da je X metričen prostor, kar avtomatično pomeni, da je normalen in 1-števen. Prostor X ni lokalno kompakten, ker za kroglo K(f, r) ⊂ C(I) velja \overline{K(f, r) ∩ X} = \overline{K}(f, r) ⊂ C(I). X je povezan s potmi, ker za polinoma p, q obstaja pot f : (I, 0, 1) → (X, p, q), f(t) := (1 − t)p + tq. Podobno se prepričamo, da je X tudi lokalno povezan s potmi. Prostor X je separabilen, ker so polinomi z racionalnimi koeficienti števna gosta množica. Kot separabilen metrični prostor je X tudi 2-števen.

115. Ne. Retrakt v T_{2} prostoru je vedno zaprt, medtem ko je zaprtje množice polinomov v C(I) kar cel prostor.

116. Ne, ker je limita po točkah zaporedja konstantnih funkcij spet konstantna.

117. Ne, ker za vsak nekonstanten polinom p ∈ IR[X] velja lim_{x→∞} |p(x)| = ∞, torej je s polinomi nemogoče enakomerno aproksimirati omejeno funkcijo, kot je recimo f(x) = sin x.

118. Na kompaktnem intervalu [−π, π] množica funkcij {1, sin x, cos x} ⊂ C([−π, π]) vsebuje konstanto in loči točke, kar pomeni, da je z njo generirana podalgebra gosta v C([−π, π]). Drugače povedano, za vsako zvezno funkcijo f : [−π, π] → IR in vsak ϵ > 0 obstaja tak trigonometrijski polinom s(x) = c_{0}+c_{1} sin x+d_{1} cos x+…+c_{n} sin^{n} x+d_{n} cos^{n} x, da je |f(x) − s(x)| < ϵ| za vse x ∈ [−π, π]. Potence sin^{k} x, cos^{k} x se dajo izraziti kot linearna kombinacija funkcij sin kx in cos kx za k ≤ n, kar zlahka dokažemo z uporabo de Moivrove formule in matematične indukcije. Sledi, da obstaja linearna kombinacija konstante ter funkcij sin kx in cos kx, ki se razlikuje od f za manj kot ϵ. Ker je f 2πperiodična, velja ocena za vse x ∈ IR.

119. a) Naj bo K := {z ∈ CC | |z| ≤ 1} in vzemimo družino vseh kompleksnih polinomov v C(K, CC), ki očitno vsebuje konstante in loči točke. Enakomerna limita polinomov na K je vedno analitična na notranjosti K, zato zaprtje te družine ne vsebuje vseh zveznih funkcij na K.

b) Družina \{f + \overline{f} | f ∈ A\} je očitno podalgebra v C(K, IR), ki vsebuje konstante in loči točke, torej je v njej gosta. Poljubno funkcijo iz C(K, CC) lahko aproksimiramo s funkcijo iz A tako, da posebej aproksimiramo realni, posebej pa imaginarni del.

10.6 Kvocientni prostori

120. Na primer (IR^{2} × {−1}) ∪ S^{2} ⊂ IR^{3}.

121. Da, saj je prostor z eno točko vedno kompakten in hkrati kvocientni prostor kateregakoli prostora, torej tudi nekompaktnega.

122. Na primer Q = {(x, y) | (x+1)^{2}+y^{2} ≤ −x}∪{(x, y) | (x−1)^{2}+y^{2} ≤ x}. Naj bosta K := {(x, y) | |x| + |y| ≤ 1} in D := {(x, y) | x = 0, |y| ≤ 1} kvadrat in njegova diagonala. Funkcija f : K → Q definirana z

f(x, y) := (x, \{ \begin{matrix}y\sqrt{\frac{−x}{1+x}}; & x ≤ 0 \\ y\sqrt{\frac{x}{1−x}}; & x ≥ 0 \end{matrix} \})

je zvezna surjekcija. Ker slika iz kompakta v T_{2} prostor je tudi zaprta, torej kvocientna.

123. Projekcija pr: X × Y → X je zvezna, odprta surjekcija, torej kvocientna preslikava.

124. Na primer X := {a}, Y := {a, b}. Tedaj je CX ≈ CY ≈ I. Podobno je za Z = {a} tudi CZ ≈ ΣZ ≈ I.

125. Če sta [x, u], [y, v] ∈ ΣX, lahko definiramo pot

f : (I, 0, 1) → (ΣX, [x, u], [y, v])

s predpisom

f(t) := \{ \begin{matrix}[x, 2(1 − u)t + u]; & 0 ≤ t ≤ \frac{1}{2} \\ [y, 2(v − 1)t + (2 − v)]; & \frac{1}{2} ≤ t ≤ 1 \end{matrix} ,

torej je ΣX vedno povezana s potmi. Če je {U_{λ} | λ ∈ Λ} bazični sistem okolic točke x ∈ X, se hitro prepričamo, da je {U_{λ} × (−ε, ε) | λ ∈ Λ, 0 < ε < 1} baza okolic točke [x, 0] ∈ ΣX. To pomeni, da suspenzija nad prostorom, ki ni lokalno povezan s potmi (npr. nad Varšavsko krožnico), tudi ni lokalno povezana s potmi.

126. Preslikava H : CX ×I → CX, H([x, t], s) := [x, (1−s)t] je kontrakcija stožca na njegov vrh.

127. a) Naj bo X ⊆ IR^{n} × {0} ⊆ IR^{n+1} kompakten in a := (0, …, 0, 1). Preslikavo f : CX → X ∗ a opredelimo z f([x, t]) := (1 − t)x + ta. Ta preslikava je očitno zvezna bijekcija. Ker je CX kvocient kompaktnega prostora in X ∗ a Hausdorffov prostor, je f tudi zaprta, torej homeomorfizem.

b) Naj bo U relativno kompaktna, odprta okolica vrha c stožca C. Tedaj je tudi V := \{[x, \frac{1+t}{2}] | [x, t] ∈ U\} relativno kompaktna in odprta okolica točke c. Sledi, da je \overline{U} −V kompaktna in zato projekcija f : \overline{U} − V → I, f([x, t]) := t zavzame maksimum M < 1. To pomeni, da je K := \{[x, t] ∈ CX|t = \frac{1+M}{2} \} zaprta v CX in vsebovana v V, torej kompaktna. Ker je K ≈ X, je tudi X kompakten. Zaradi istega razloga je tudi \{[x, t] ∈ CX|t ≥ \frac{1+M}{2} \} ≈ CX kompakten.

128. Definiramo f : S^{1} × S^{1} → (S^{1} × IR)^{+} z

f(e^{iφ}, e^{iψ}) := \{ \begin{matrix}(e^{iφ}, ctg \frac{ψ}{2} ) & : & ψ ≠ 2kπ \\ ∞ & : & ψ = 2kπ \end{matrix} .

f je očitno zvezna surjekcija. Ker je S^{1} × IR lokalno kompakten, je (S^{1}×IR)^{+} Hausdorffov, zato je f zaprta in torej kvocientna. Preslikava f določa dekompozicijo, pri kateri je edini netrivialni element ravno S^{1} × {1}. Sklepamo, da je S^{1} × S^{1}/S^{1} × {1} ≈ (S^{1} × IR)^{+}.

129. Torusu.

130. Vemo, da obstaja zvezna surjekcija f : C → I. Če jo razširimo na produkt, dobimo zvezno surjekcijo \overline{f} : C ≈ C^{n} → I^{n}. Ker je C kompakten, I^{n} pa Hausdorffov, je \overline{f} zvezna zaprta surjekcija, torej kvocientna.

131. Privzemimo, da je dekompozicija D navzgor polzvezna in vzemimo poljubno zaprto množico F ⊂ X. Vsak x ∉ p^{−1}(p(F)) je vsebovan v kakem d ∈ D, ki ne seka F, zato obstaja takšna okolica V ∋ x, da X − V vsebuje vse d ∈ D, ki sekajo F, kar pomeni, da je V ∩ p^{−1}(p(F)) = ∅, torej je p^{−1}(p(F)) zaprta, kar pomeni, da je tudi kvocientna projekcija zaprta. Obratno, če je kvocientna projekcija zaprta in če je U odprta množica, ki vsebuje element dekompozicije d ∈ D, je V := X − p^{−1}(p(X − U)) odprta množica, ki tudi vsebuje d, povrhu pa U vsebuje vse elemente dekompozicije, ki sekajo V.

132. a) Preslikava det : O(n) → {−1, 1} je odprti epimorfizem, katerega jedro je ravno SO(n), zato det inducira izomorfizem O(n)/SO(n) ≅ {−1, 1}, ki je tudi homeomorfizem. Podobno dobimo, da je U(n)/SU(n) izomorfen in homeomorfen topološki multiplikativni grupi kompleksnih števil z absolutno vrednostjo 1, to je S^{1}.

b) Za razliko od prejšnje točke, tokrat SO(n) ni edinka v SO(n+1), zato SO(n + 1)/SO(n) ni grupa. Naj bo e = (1, 0, …, 0) ∈ IR^{n+1} in naj bo f : SO(n + 1) → S^{n}, podana z f(A) := Ae. Funkcija f je očitno zvezna in, ker slika iz kompaktnega v T_{2} prostor, kvocientna. Za A, B ∈ SO(n + 1) velja f(A) = f(B), oziroma Ae = Be natanko takrat, ko velja B^{−1}Ae = e, torej, ko je B^{−1}A ∈ SO(n). Sledi, da f inducira bijekcijo iz SO(n + 1)/SO(n) na S^{n}, ki je homeomorfizem.

133. Iz pogoja sledi, da je f injektivna, g pa surjektivna. Ker sta X in Y kompaktna in Hausdorffova, sta obe f in g zaprti, torej je f vložitev, g pa kvocientna.

134. Uporabi 133. nalogo.

135. Naj bo T := {(x, y) ∈ IR^{2} | x^{2}+y^{2} = −x}∪{(x, y) ∈ IR^{2} | x^{2}+y^{2} = x}. Definiramo funkcijo g : X ∪ Y → T z

g(t) := \{ \begin{matrix}(t, −\sqrt{−t − t^{2}}) & t ∈ X, t ≤ 0 \\ (t, −\sqrt{t − t^{2}}) & t ∈ X, t ≥ 0 \\ (t, \sqrt{−t − t^{2}}) & t ∈ Y, t ≤ 0 \\ (t, \sqrt{t − t^{2}}) & t ∈ Y, t ≥ 0 \end{matrix}

Ni se težko prepričati, da g inducira homeomorfizem \overline{g} : X ∪_{f} Y → T.

136. Naj bo A := S^{1} × {0, 1} ∪ {−1, 1} × I. Definirajmo f : A → S^{1} z f(S^{1} × {0}) := 1, f(S^{1} × {1}) := −1, f(−1 × I) := spodnji lok krožnice od 1 do −1 in f({1} × S^{1}) := zgornji lok krožnice od 1 do −1. Ni se težko prepričati, da je S^{1} × I ∪_{f} S^{1} ≈ S^{2}.

137. Najprej opazimo, da je A lokalno kompakten, ker je zaprt podprostor lokalno kompaktnega prostora. Prostora X − A in A × (0, 1] sta oba vložena v zlepku in vsaka njuna točka ima kompaktno okolico, ki ne seka A (oz. A × {0}) in je zato njena slika v zlepku tudi kompaktna okolica. Naj bo K ⊆ X kompaktna okolica točke x ∈ A. Tedaj je (K ∩ A) × I ∪_{i} K kompaktna okolica točke i(x) v zlepku.

138. Ker sta \overline{X} in Fr X zaprti in omejeni in ker je Y zvezna slika kompakta Fr X, sledi, da je \overline{X} ∪_{f} Y kvocient kompaktnega prostora, torej kompakten. Restrikcija kvocientne projekcije je vložitev i : X ↪ \overline{X} ∪_{f} Y in i(X) je gost v \overline{X} ∪_{f} Y, ker je vsaka točka zlepka slika kake točke iz \overline{X} (f je surjekcija). Povrhu je \overline{X} ∪_{f} Y − i(X) ≈ Y, torej je ta zlepek res kompaktifikacija prostora X s prostorom Y.

139. a) Preslikava g : (X × I) ⨿ {∗} → CX, g(x, t) := [(x, t)] ∈ CX in g(∗) := [(x, 1)] (vrh stožca) je kvocientna, ker je g|_{X×I} običajna kvocientna projekcija X × I na CX, {∗} pa je diskreten. Ker g identificira ravno točke iz X × I in {∗}, inducira homeomorfizem \overline{g} : X × I ∪_{f} \{∗\} → CX.

140. Restrikcija f na S^{2} je zvezna in zaprta, torej kvocientna na svojo sliko. Iz

(x_{1}^{2} − y_{1}^{2}, x_{1}y_{1}, x_{1}z_{1}, y_{1}z_{1}) = (x_{2}^{2} − y_{2}^{2}, x_{2}y_{2}, x_{2}z_{2}, y_{2}z_{2})

dobimo (x_{1}, y_{1}, z_{1}) = ±(x_{2}, y_{2}z_{2}) , zato so praslike točk iz slike ravno pari antipodnih točk na sferi. Sklepamo, da f inducira zvezno zaprto injekcijo, torej vložitev IRP^{2} v IR^{4}.

141. Obstaja linearni endomorfizem Q na IR^{n}, pri katerem je Q(p^{−1}A ∪ {0}) = IR^{m}×0^{n−m}. Kompozitum p∘Q : p^{−1}A → IRP^{m−1} je kvocientna preslikava, ki identificira natanko točke na premicah skozi izhodišče, in inducira homeomorfizem A ≈ IRP^{m−1}.

142. Preslikava p ∘ A : IR^{n} − {0} → IRP^{n} je kvocientna in preslika premice skozi izhodišče v točke, kar pomeni, da inducira preslikavo Â : IRP^{n} → IRP^{n}, za katero je Â ∘ p = p ∘ A in ki je zvezna bijekcija, torej homeomorfizem. Za drugi del naloge zadošča, če opazimo, da je linearna preslikava, ki ohranja n danih linearno neodvisnih vektorjev nujno identiteta, medtem ko je očitno, da obstajajo neidentični homeomorfizmi IRP^{n−1} vase, ki ohranjajo n danih točk.

143. Podali bomo eksplicitne dokaze, čeprav je v ozadju kvaternionski premislek.

a) Preslikavo f : S^{3} → SO(3) definiramo takole: točki (x, y, z, u) ∈ S^{3} priredimo rotacijo prostora IR^{3} z osjo (x, y, z) in kotom φ, za katerega velja u = sin \frac{φ}{2}. Ta preslikava je zvezna surjekcija, praslike posameznih rotacij iz SO(3) pa so ravno pari antipodnih točk na S^{3}, torej f inducira homeomorfizem med IRP^{3} in SO(3).

b) Naj bo e⃗ := (1, 0, 0, 0) ∈ S^{3}. Definiramo naslednje preslikave: p : SO(4) → S^{3} z p(A) := Ae⃗; s : S^{3} → SO(4) z

s(x, y, z, u) := [ \begin{matrix}x & −y & −z & −u \\ y & x & −u & z \\ z & u & x & −y \\ u & −z & y & x \end{matrix} ]

in i : SO(3) → SO(4) z

i(B) := [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & B \end{matrix} ] .

Če upoštevamo, da je s(v⃗)e⃗ = v⃗ dobimo

[A^{−1} · s(p(A))]e⃗ = A^{−1} · p(A) = A^{−1} · A · e⃗ = e⃗

kar pomeni, da obstaja tak B ∈ SO(3), da je i(B) = A^{−1} · s(p(A)). Sklepamo, da je preslikava q : SO(4) → SO(3), q(A) := i^{−1}(A^{−1} · s(p(A))) dobro definirana. Brez težav preverimo, da sta preslikavi f : SO(4) → SO(3) × S^{3}, f(A) := (q(A), p(A)) in g : SO(3) × S^{3} → SO(4), g(B, v⃗) := s(v⃗) · i(B^{−1}) inverzna homeomorfizma.

10.7 Osnovni izreki topologije evklidskih prostorov

144. Da, preslikava r : S^{n} → S_{+}^{n}, r : (x_{1}, …, x_{n+1}) ↦ (x_{1}, …, |x_{n+1}|) je retrakcija.

145. Da, saj je prostor [0, 2π] kontraktibilen, S^{1} pa povezan. Eksplicitna homotopija je H(t, s) := e^{i(1−2s)t}.

146. Če bi obstajala retrakcija r : S^{1} × B^{2} → S^{1} × S^{1}, bi bil kompozitum

{1} × B^{2} ↪ S^{1} × B^{2} ⟶^{r} S^{1} × S^{1} → {1} × S^{1}

retrakcija diska na njegov rob, kar je v nasprotju z Brouwerjevim izrekom.

147. a) Ne, saj bi bila restrikcija retrakcije na zgornjo hemisfero v bistvu

retrakcija diska na rob.

b) Da, retrakcija je projekcija iz točke (0, 1) na A. Eksplicitna formula za retrakcijo r : X → A je r(x, y) := (\frac{2(1−y)x}{x^{2}+(1−y)^{2}} , \frac{x^{2}−(1−y)^{2}}{x^{2}+(1−y)^{2}} ).

148. Privzemimo nasprotno, da obstaja a ∈ B^{n} − f(B^{n}). Ker obstaja retrakcija r : B^{n} − {a} → S^{n−1}, je kompozitum

B^{n} ⟶^{f} B^{n} − {a} ⟶^{r} S^{n−1} ⟶^{f^{−1}|_{S^{n−1}}} S^{n−1}

identiteta na robu, torej retrakcija. Protislovje.

149. Ker je IR^{n} − K odprta v IR^{n}, je lokalno povezana, zato so njene komponente odprte v IR^{n} − K, torej tudi v IR^{n}. Nobena točka x ∈ Fr(U) ne more ležati v kakšni drugi komponenti V množice IR^{n} −K, saj je ta po prejšnji ugotovitvi odprta v IR^{n}, kar pomeni, da za vsak x obstaja krogla K(x, r) ⊂ V, torej x ∉ Fr(U).

150. a) Ker je ΣS^{2} ≈ S^{3} in ΣS ≈ S^{2}, je to ravno trditev Jordanovega

izreka.

b) Po Schönfliesovem izreku obstaja tak homeomorfizem f : S^{2} → S^{2}, da je f(C) = S^{1} × {0}. Označimo z g : ΣS^{2} → S^{3} očitni homeomorfizem, ki Σ(S^{1} × 0) preslika na S^{2} × {0}. Tedaj je kompozitum

∑ S^{2} ⟶^{Σf} ∑ S^{2} ⟶^{g} S^{3}

iskani homeomorfizem. Če isti dokaz uporabimo v poljubni dimenziji, dobimo, da je suspenzija lokalno ploščate sfere tudi lokalno ploščata.

10.7. OSNOVNI IZREKI TOPOLOGIJE EVKLIDSKIH PROSTOROV115

151. Ne, če bi obstajala retrakcija r : (B^{1})^{3} → X, bi bil kompozitum

{0} × B^{1} × B^{1} ↪ (B^{1})^{3} ⟶^{r} X ⟶^{p} {0} × (B^{1} × ∂B^{1} ∪ ∂B^{1} × B^{1}) ,

kjer je p projekcija vzdolž prve komponente, retrakcija kvadrata na njegov rob.

152. Iz 80. naloge vemo, da je vsaka nesurjektivna preslikava f : S^{n} → S^{n} homotopna konstanti, medtem ko po Brouwerjevem izreku id_{S^{n}} ni homotopna konstanti.

153. Ker je X omejen, leži v neki dovolj veliki kocki Q ≈ I^{n} in ker je absolutni retrakt, je tudi retrakt kocke. Vsaka preslikava kocke vase ima negibno točko, zato po 107. nalogi enako velja tudi za X.

10.8 Kompleksi in poliedri

154. a) Konveksna ogrinjača je daljica med (−1, 1) in (1, 5), afina ogrinjača je premica y = 2x + 3.

b) Trikotnik z danimi ogljišči, ravnina x − 2y + 3z = 4.

c) Trikotnik z danimi ogljišči, ravnina z enačbo r⃗(s, t) = (1 + s − t, 3t − 3s, −1 + 2s, 2t, 2 − 2s − 2t).

d) Daljica med (1, 2, −1) in (−2, 5, 8) , premica 1−x = y −2 = \frac{z+1}{3}.

155. a) Baricentrične koordinate točke (1, 1, 1) so (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}), to je torej notranja točka tetraedra, medtem ko so za točko (\frac{7}{6}, \frac{5}{6}, \frac{2}{3}) koordinate (\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, 0), kar pomeni, da gre za točko na robnem trikotniku, ki ga določajo prva tri ogljišča tetraedra.

b) Ne, ker so njene baricentrične koordinate (−7, 0, 2, 6).

156. a) Denimo, da je x takšna točka, da iz x = \frac{y+z}{2} sledi x = y = z in da velja x = ty + (1 − t)z. Lahko privzamemo še t ≥ \frac{1}{2}. Tedaj je x = \frac{y+y′}{2} , kjer je y′ = (2t − 1)y + 2(1 − t)z ∈ X. Sledi x = y = z. Obrat sledi, če postavimo t = \frac{1}{2}.

b) Ekstremne točke za trikotnik in kocko so ogljišča, za kroglo je so točke na robni sferi, ravnina in odprta krogla pa nimata ekstremnih točk.

c) Naj bo X ⊆ IR^{n} kompaktna in konveksna in X̂ množica njenih ekstremnih točk. Očitno je afina ogrinjača co(X̂) ⊆ X, zato bo dovolj, če pokažemo, da je X ⊆ co(X̂). Za vsako točko x ∈ X definiramo A(x) := {y ∈ X | ∃z : x = ty + (1 − t)z, t ∈ (0, 1)} in n(x) := dimenzija afine ogrinjače A(x). Jasno je, da je n(x) = 0 natanko takrat, ko je x ekstremna točka. Zadoščalo bo, če dokažemo, da je vsak x ∈ X z n(x) > 0 konveksna kombinacija nekih u, v ∈ X, za katere je n(u), n(v) < n(x). Najprej opazimo, da je A(x) vedno konveksna in kompaktna: konveksnost je očitna, omejenost prav tako. Za zaprtost si oglejmo Cauchyjevo zaporedje (y_{n}) ⊂ A(x) in y := lim y_{n} ∈ X. Obstaja zaporedje (z_{n}) ⊂ A(x), da je x = ty_{n} + (1 − t)z_{n}. Ker je X kompakten, obstaja v (z_{n}) konvergentno podzaporedje z limito z. Očitno je x konveksna kombinacija y in z, torej je A(x) kompakten. Ker je n(x) > 0, obstaja premica p, ki leži v afini ogrinjači A(x) in ki zaradi konveksnosti in kompaktnosti seka rob A(x) v natanko dveh točkah, recimo u in v. Pri tem je seveda x konveksna kombinacija u in v. Ker v ni v afini ogrinjači A(u), je afina ogrinjača A(u) prava podmnožica afine ogrinjače A(x), zato je n(x) > n(u). Analogno dobimo tudi n(x) > n(v).

d) Na primer premica.

157. Da, ker je afina ogrinjača kake svoje maksimalne afino neodvisne podmnožice, ta pa je v IR^{n} nujno končna.

158. Zlahka preverimo, da so na primer točke (1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1) ter (−1, 0, …, 0) afino neodvisne v IR^{n+1}.

159. a) Če od vseh vrstic odštejemo prvo, dobimo

D = | 1 a_{01} . . . . . . . . . . . . .a_{0n} ; 0 (a_{11} − a_{01}) … (a_{1n} − a_{0n}) ; ⋮ ; 0 (a_{n1} − a_{01}) … (a_{n,n} − a_{0n}) |

ta je pa različna od nič natanko takrat, ko so točke a_{1}−a_{0}, …, a_{n}− a_{0} linearno neodvisne, kar je ravno pogoj za afino neodvisnost točk a_{0}, …, a_{n}.

b) Vzemimo družino točk a_{i} := (i, i^{2}, …, i^{n}) ∈ IR^{n}, i ∈ IN. Ustrezna determinanta iz točke a) je determinanta Vandermonda z

D (a_{i_{0}}, …, a_{i_{m}}) = ∏_{j<k} (i_{j} − i_{k}) .

160. Denimo, da za neko afino kombinacijo točk {b, p_{0}, …, p_{i−1}, p_{i+1}, …, p_{n}} velja:

0 = λb + ∑_{j≠i} λ_{j}p_{j} = \frac{λ}{n}p_{i} + ∑_{j≠i} (λ_{j} + \frac{λ}{n}) p_{j}  (λ + ∑_{j≠i} λ_{j} = 0)

Ker so p_{0}, …, p_{n} afino neodvisne, sledi, da so vsi koeficienti λ, λ_{j} enaki nič.

161. a) To je trikotnik z ogljišči (0, 1, 0), (−1, 0, 0) in (0, 0, 1). Ima 1

dvorazsežno lice, 3 enorazsežna in 3 ničrazsežna lica.

b) Ni politop, ker je neomejena. c) To je presekani oktaeder. Ima eno trirazsežno, 9 dvorazsežnih,

16 enorazsežnih in 9 ničrazsežnih lic.

162. Ne, saj ni konveksen. (Vendar pa je politopni kompleks.)

163. Naj bo X ⊆ IR^{n} kompaktna in konveksna in naj bo A(X) njena afina ogrinjača. Če je dim A(X) = k, lahko v X izberemo k + 1 afino neodvisnih točk. Baricenter teh točk (lahko je tudi samo ena, če je k = 0) ima okolico, homeomorfno B^{k}, ki je cela vsebovana v X, torej ima X neprazno notranjost v A(X). Zaradi 53. naloge je X ≈ B^{k}.

164. Naj bodo a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} oglišča spodnje stranice kocke in b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} ustrezna oglišča zgornje stranice. Tedaj je ena izmed možnih triangualcij tista, ki ima za glavne simplekse afine ogrinjače naslednjih množic: {a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{3}}, {a_{1}, a_{2}, b_{2}, b_{3}}, {a_{1}, b_{1}, b_{2}, b_{3}}, {a_{1}, a_{3}, a_{4}, b_{4}}, {a_{1}, a_{3}, b_{3}, b_{4}}, {a_{1}, b_{1}, b_{3}, b_{4}}.

165. Zaradi lokalne končnosti simplicialnega kompleksa lahko izberemo družino paroma disjunktnih odtrtih okolic njegovih oglišč. V IR^{n} je takšna družina največ števno neskončna. Ker je vsak simpleks določen s končno množico oglišč, je tudi vseh simpleksov največ števno neskončno.

166. Ne. Preseki simpleksov triangulacije morajo biti skupna lica, zato je vrh stožca nujno oglišče triangulacije. Tedaj vsaka njegova okolica seka neskončno simpleksov, kar je v nasprotju z lokalno končnostjo.

167. Naj bo K_{n} := ∂([−1, 1]^{n+1}) plašč (n + 1)-razsežne kocke. K_{n} ima naravno strukturo politopnega kompleksa, pri katerem so vse celice kocke različnih dimenzij (manjših od n + 1). Baricentrična subdivizija tega kompleksa je simplicialni kompleks, ki je triangulacija S^{n} (saj je K_{n} ≈ S^{n}) in pri katerem antipodna preslikava slika simplekse v simplekse. Ker antipodni simpleksi niso sosedni, je s tem določena triangulacija prostora, ki ga dobimo, če identificiramo antipodne točke, torej IRP^{n}.

168. a) Za oglišča triangulacije prostora X vzamemo točke iz produkta \{1 − \frac{1}{n} | n ∈ IN\} × \{−1, 0, 1\}, za 1-simplekse pa vse daljice oblike \overline{(1 − \frac{1}{n}, ±1)(1 − \frac{1}{n}, 0)}, \overline{(1 − \frac{1}{n} ± 1)(1 − \frac{1}{n+1}, 0)} in \overline{(1 − \frac{1}{n}, t)(1 − \frac{1}{n+1}, t)}, kjer je t ∈ \{−1, 0, 1\}. Ker gre za triangulacijo podprostora v ravnini, so 2-simpleksi s tem že določeni.

Za oglišča triangulacije prostora Y pa vzamemo točke oblike (n, 0) za n ∈ IN in (0, n) za n ∈ ZZ. Če f definiramo z f : (1 − \frac{1}{n}, 0) ↦ (n − 1, 0) in f : (1 − \frac{1}{n}, ±1) ↦ (0, ±n), jo lahko po linearnosti razširimo do PL-homeomorfizma med X in Y.

c) Naj bodo {a, b, c} oglišča Δ^{2}. Pri običajni triangulaciji prizme (z istimi oglišči) je PL-preslikava, definirana tako, da točki (b, 1) in (c, 1) slika v (a, 0), na ostalih pa je identiteta, iskana retrakcija.

g) Da. Punktirano ravnino trianguliramo takole: 0-simpleksi so točke v IR^{2} oblike (0, n), (0, \frac{1}{n}), (n, 0), (\frac{1}{n}, 0) za n ∈ ZZ − \{0\}; 1-simpleksi pa so vse daljice med zaporednimi oglišči triangulacije na koordinatnih oseh, vse daljice oblike

\overline{(0, n)(±n, 0)} in \overline{(0, \frac{1}{n})(±\frac{1}{n}, 0)}

ter vse daljice oblike

\overline{(n, 0)(0, ±(n + 1))} in \overline{(\frac{1}{n}, 0)(0, ±\frac{1}{n + 1})}.

Ker gre za triangulacijo ravnine, so s tem 2-simpleksi že določeni. Kosoma linearna preslikava r : IR^{2}−{0} → K, določena z r(0, n) := (0, sgn(n)) in r(n, 0) := (sgn(n), 0), je iskana retrakcija.

169. Dokazali bomo, da v splošnem ne obstaja retrakcija r : Δ_{n} → Δ_{n}^{(k)} n-simpleksa na njegov k-skelet (k < n). Če označimo z 0, 1, …, n oglišča Δ_{n}, potem je s predpisom j ↦ j za j = 0, …, k + 1 podana PL-vložitev i : Δ_{k+1} ↪ Δ_{n}, s predpisom j ↦ j za j = 0, …, k in j ↦ k + 1 za j = k + 1, …, n pa PL-retrakcija p : Δ_{n} → Δ_{k+1}. Pri tem p preslika Δ_{n}^{(k)} v Δ_{k+1}^{(k)} in velja p^{∘}i = id. Če bi obstajala retrakcija r : Δ_{n} → Δ_{n}^{(k)}, bi bil kompozitum

Δ_{k+1} ⟶^{i} Δ_{n} ⟶^{r} Δ_{n}^{(k)} ⟶^{p} Δ_{k+1}^{(k)} = ∂(Δ_{k+1})

retrakcija (k + 1)-simpleksa na njegov rob, kar nasprotuje Brouwerjevemu izreku.

170. a) Če sta x, y različni točki v P, se daljici \overline{px} in \overline{py} sekata le v točki

p, torej je P spojljiv s p.

b) Ker je f kosoma linearna, je L := f(S^{1}) podpolieder v K. Spoj L s točko v IR^{n+1}−IR^{n}×0 je kosoma linearen disk D in D∪P ⊆ IR^{n+1} je polieder, homeomorfen zlepku. c) Ponovimo premislek iz prejšnje točke, le da izberemo dve točki

v različnih komponentah IR^{n+1} − IR^{n} in potem krožnico f(S^{1}) spojimo z eno, g(S^{1}) pa z drugo točko.

171. a) Za vsak σ ∈ K obstaja PL-retrakcija r_{σ} : |σ|×I → |∂σ|×I ∪|σ|× 0. Če te retrakcije uporabimo na vseh k-simpleksih σ ∈ K − L, dobimo PL-retrakcijo

r_{k} : ((|K^{(k)}|∪|L|)×I)∪(|K|×0) → ((|K^{(k−1)}|∪|L|)×I)∪(|K|×0).

Če je n dimenzija kompleksa K, je r := r_{0} ^{∘}r_{1} ^{∘} … ^{∘}r_{n} retrakcija |K| × I → |L| × I ∪ |K| × 0.

b) Kompozitum F ^{∘}r : |K| × I → M preslikave F z retrakcijo r iz točke a) je iskana razširitev.

172. Ne, saj lahko po izreku o simplicialni aproksimaciji vsako zvezno preslikavo med poliedri poljubno natančno aproksimiramo s simplicialno, torej so PL-preslikave goste v množici zveznih funkcij med P in Q.

173. Naj bo P šestkotnik v CC z oglišči a_{n} = e^{\frac{inπ}{3}} , n = 0, …, 5, Q pa trikotnik v CC z oglišči b_{n} = e^{\frac{2inπ}{3}} , n = 0, 1, 2. Preslikavo f : P → S^{1} definiramo z f(x) := \frac{x}{∥x∥}, kosoma linearno preslikavo s : P → Q pa določimo na ogliščih z s(a_{i}) := b_{2i(mod 3)}. Zlahka preverimo, da je s predpisom g(x) := p^{∘}f ^{∘}s^{−1}(x) dobro definiran homeomorfizem Q → IRP^{1}. Jasno je, da je g^{−1} ^{∘}p^{∘}f kosoma linearna, saj je enaka s.

174. a) V CK so n-razsežni simpleksi natanko vsi n-razsežni simpleksi K in spoji (n − 1)-simpleksov K z vrhom stožca. Če število nsimpleksov kompleksa K označimo s c_{n}(K) imamo torej c_{0}(CK) = c_{0}(K) + 1 in c_{n}(CK) = c_{n}(K) + c_{n−1}(K) za n > 0. Od tod dobimo, da je

χ(CK) = ∑_{n}(−1)^{n}c_{n}(CK) =

= c_{0}(K) + 1 + ∑_{n≥1}(−1)^{n}(c_{n}(K) + c_{n−1}(K)) = 1,

ker se vsi ostali sumandi odštejejo.

b) Velja B^{n} ≈ C(B^{n−1}) zato je χ(B^{n}) = 1 za vse n.

c) Podobno kot prej opazimo, da je c_{0}(ΣK) = c_{0}(K)+2 in c_{n}(ΣK) = c_{n}(K) + 2c_{n−1}(K) za n > 0. Od tod dobimo, da je

χ(ΣK) = c_{0}(K) + 2 + ∑_{n≥1}(−1)^{n}(c_{n}(K) + 2c_{n−1}(K)) = 2 − χ(K).

d) Ker je χ(S^{0}) = 2 in ker je S^{n} ≈ ΣS^{n−1} dobimo, da je χ(S^{n}) = 1 + (−1)^{n}.

175. Eulerjeva karakteristika politopnega kompleksa je enaka alternirajoči vsoti števil celic v posameznih dimenzijah. Če je c_{n}(K) število nrazsežnih celic politopnega kompleksa K, je jasno, da je c_{n}(K × L) = ∑_{i+j=n} c_{i}(K)c_{j}(L), ker lahko za celice produkta vzamemo produkte celic kompleksov. Od tod sledi

χ(K × L) = ∑_{n}(−1)^{n} ∑_{i+j=n} c_{i}(K)c_{j}(L) =

= ∑_{i}(−1)^{i}c_{i}(K) ∑_{j}(−1)^{j}c_{j}(L) = χ(K)χ(L).

176. Ne. Zadošča že, če za P vzamemo eno točko. Tedaj je Σ(P × S^{1}) ≈ S^{2}, medtem ko je Σ(P) × S^{1} ≈ I × S^{1}. Isti sklep dobimo tudi, če primerjamo Eulerjevi karakteristiki.

177. Da. Po točki c) 174. naloge zadošča, če je χ(K) = 7. Za K lahko vzamemo 1-razsežni simplicialni kompleks z oglišči a, b_{1}, …, b_{8} in 1simpleksi oblike (a, b_{i}) ter (b_{i}, b_{i+1(mod 8)}) za i = 1, …, 8.

178. V 167. nalogi smo pokazali, da obstaja triangulacija sfere S^{n}, pri kateri so antipodi simpleksov spet simpleksi. Le-ta inducira triangulacijo IRP^{n}. ki ima natanko polovico simpleksov v vseh dimenzijah, zato je χ(IRP^{n}) = \frac{1}{2}χ(S^{n}) = \frac{1}{2}(1 + (−1)^{n}).

179. Eulerjeva karakteristika 1-skeleta n-simpleksa (napetega na n+1 oglišč) je n + 1 − (\binom{n+1}{2}) = \frac{−n^{2}+n+2}{2}. To število je pri različnih n različno.

180. Vemo, da je χ(K) = 0, zato imamo χ(ΣK) = 2 − χ(K) = 2.

181. Ne, ker je χ(X × S^{2}) = χ(X)χ(S^{2}) = 2χ(X) ≠ 3.

182. Ker je Eulerjeva karakteristika simpleksa enaka 1, zadošča, če odštejemo prispevek n in n − 1 simpleksov, torej je χ(Δ_{n}^{(n−2)}) = 1 − (−1)^{n} − (−1)^{n−1}\binom{n+1}{n} = 1 + (−1)^{n}n.

10.9 Mnogoterosti

183. Eulerjevi karakteristiki sta različni: χ(S^{1} × B^{2}) = χ(S^{1}) × χ(B^{2}) = 0, medtem ko je χ(B^{3}) = 1.

184. Vsako izmed točk a, b lahko izberemo na dva načina: v notranjosti intervala ali pa na robu. Če pregledamo vse možnosti, ugotovimo, da je kvocientni prostor mnogoterost, če je a = b ali pa če sta a in b različni krajišči intervala.

185. Izberimo poljubno točko x ∈ M in njeno okolico A ≈ B^{n}. Prelikavo f sestavimo iz običajne zvezne surjekcije f_{1} : A → S^{n}, ki rob A preslika v severni pol, in konstantne preslikave f_{2} : M − Int A → S^{n}, ki vse preslika v severni pol. Ker sta f_{1} in f_{2} zvezni, definirani na končnem zaprtem pokritju {A, M − Int A} in se ujemata na preseku, sledi, da je preslikava f zvezna.

186. a) Prostora nista homeomorfna, saj ima (Y, T_{1}) povezano odprto množico K((−1, 0), 1) ∩ Y, ki razpade v tri komponente, če ji odvzamemo točko (−1, 0), v prostoru (Y, T_{2}) pa ni nobene takšne, ker so v njem vse povezane odprte množice homeomorfne odprtemu intervalu.

b) Preslikava f : X → (Y, T_{2}) je odprta, zvezna bijekcija, torej homeomorfizem, zato je (Y, T_{2}) homeomorfen mnogoterosti X.

187. Izberimo točko x v povezani mnogoterosti M in označimo z U množico vseh točk, ki so povezane z x. Ker ima vsaka točka mnogoterosti okolico, ki je homeomorfna IR^{n} ali IR_{+}^{n}, je M lokalno povezana s potmi, torej je U odprta. Če je namreč y ∈ U, je očitno tudi cela njena evklidska okolica vsebovana v U. Po drugi strani je tudi M − U odprta. Nobena evklidska okolica y ∈ M − U ne more sekati U, ker bi potem bili x in y povezani s potjo. Ker je M povezana in U ni prazna, sledi, da je M − U = ∅, torej je M povezana s potmi.

188. a) Da, saj je odprta podmnožica ravnine, ki je mnogoterost.

b) Ne, ker točka (0, 0) nima evklidske okolice. Povrhu množica ni niti lokalno kompaktna.

c) Da, vsaka števna (zaradi 2-števnosti) diskretna množica je 0mnogoterost.

d) Ne, ker ni lokalno kompaktna. e) Ne, ker izhodišče nima evklidske okolice (tam se stikata dva

diska).

f) Da, saj je to disjunktna unija dveh odprtih podmnožic evklidskega prostora.

g) Da, homeomorfna je IR − {0}.

h) Da, homeomorfna je (0, ∞).

189. Po Schönfliesovem izreku obstaja homeomorfizem f : IR^{2} → IR^{2}, pri katerem je f(i(B^{2})) = B^{2}. Jasno je, da f inducira homeomorfizem \overline{f} : U/i(B^{2}) → f(U)/B^{2}. Ker je po izreku o invarianci odprtih množic f(U) odprta, očitno zadošča, če trditev dokažemo za primer, ko je U odprta množica, ki vsebuje B^{2}. Preslikava g : IR^{2} → IR^{2}, podana z

g(x) := \{ \begin{matrix}0 & ; ∥x∥ ≤ 1 \\ (∥x∥ − 1)x & ; ∥x∥ ≥ 1 \end{matrix}

je kvocientna, zato je kvocientna tudi njena restrikcija na odprto množico U. Ker je praslika izhodišča ravno B^{2}, je U/B^{2} ≈ g(U), ta pa je očitno odprta, torej mnogoterost.

190. Opisali bomo podrobnosti dokaza za primer ortogonalne grupe. Ker je O(n) topološka grupa, bo dovolj, če pokažemo, da ima njena enota I evklidsko okolico. Matrike iz IR^{n×n} lahko gledamo kot vektorje z n^{2} komponentami in tedaj je O(n) določena kot množica rešitev sistema enačb F_{ij}(a_{11}, …, a_{nn}) := ∑_{k=1}^{n} a_{ik}a_{jk} = δ_{ij} za i, j = 1, …, n. Ker je F_{ij} = F_{ji}, lahko gledamo le tistih \frac{n(n+1)}{2} enačb, pri katerih je i ≤ j. Če dokažemo, da ima Jacobijeva matrika sistema enačb F_{ij} = δ_{ij} glede na spremenljivke a_{uv} maksimalen rang v točki I (to je, pri a_{uv} = δ_{uv}), bo iz izreka o implicitni funkciji sledilo, da ima I okolico, homeomorfno IR^{\frac{n(n−1)}{2}} . Neposreden račun nam da

\frac{∂F_{ij}}{∂a_{uv}} = δ_{ui}a_{jv} + δ_{uj}a_{iv},

oziroma, če upoštevamo a_{uv} = δ_{uv},

\frac{∂F_{ij}}{∂a_{uv}} (I) = δ_{ui}δ_{jv} + δ_{uj}δ_{iv}.

Zlahka se prepričamo, da so v ustrezni Jacobijevi matriki stolpci, ki ustrezajo parcialnim odvodom funkcij

F_{11}, …, F_{1n}, F_{22}, …, F_{2n}, …, F_{n−1 n−1}, F_{n−1 n}, F_{n n}

linearno neodvisni, torej ima matrika maksimalni rang in s tem je naš dokaz končan. Dimenzija O(n) in SO(n) je \frac{n(n−1)}{2}, dimenzija U(n) je n^{2}, dimenzija SU(n) pa n^{2} − 1.

191. Definiramo f : T → B^{2} × S^{1} z

f(x, y, u, v) := (\sqrt{2}x, \sqrt{2}y, \frac{u}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} , \frac{v}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} ).

Preslikava je zvezna, ker je u^{2} +v^{2} ≥ \frac{1}{2}, njen inverz f^{−1} : B^{2} ×S^{1} → T pa je dan z

f^{−1}(x, y, u, v) := (\frac{x}{\sqrt{2}}, \frac{y}{\sqrt{2}}, u\sqrt{1 − \frac{x^{2}}{2} − \frac{y^{2}}{2}} , v\sqrt{1 − \frac{x^{2}}{2} − \frac{y^{2}}{2}} ).

Jasno je, da je S^{3} − T = \{(x, y, u, v) ∈ S^{3} | x^{2} + y^{2} ≥ \frac{1}{2}\} tudi homeomorfen polnemu torusu in (S^{3} − T) ∩ T = {(x, y, u, v) ∈ S^{3} | x^{2} + y^{2} = u^{2} + v^{2} = \frac{1}{2}\} ≈ S^{1} × S^{1}.

192. a) M je očitno homeomorfna S^{1} × B^{2} × I ≈ S^{1} × B^{3}.

b) Velja ∂M = S^{1} × S^{2}, zato je χ(∂M) = 0.

c) Ne. Če bi obstajala retrakcija r : M → ∂M, bi bil kompozitum

B^{3} ↪ S^{1} × B^{3} ≈ M ⟶^{r} ∂M ≈ S^{1} × S^{2} ⟶^{pr} S^{2}

retrakcija diska na njegov rob, kar je v nasprotju z Brouwerjevim izrekom.

193. Iz pogojev naloge sledi, da je M = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, 0) ∈ IR^{6} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 1, x_{5} = ±1}, torej je M očitno disjunktna unija dveh torusov.

194. Ker mora veljati χ(M) = 10, lahko za M vzamemo topološki produkt povezane vsote dveh torusov s povezano vsoto sedmih projektivnih ravnin.

195. Imamo χ(IRP^{2}) = \frac{1}{2}χ(S^{2}) = 1, zato je χ((IRP^{2} × S^{2})#(S^{1} × S^{3})) = 1 · 2 + 0 · 0 − 2 = 0.

196. Označimo po vrsti z x_{∞} in y_{∞} točki v ‘neskončnosti’ mnogoterosti X^{+} in Y^{+} in naj bo h : X^{+} → Y^{+} homeomorfizem med njima. Ker so povezane, sklenjene mnogoterosti homogeni prostori, obstaja homeomorfizem f : Y^{+} → Y^{+}, pri katerem je f(h(x_{∞})) = y_{∞}. Tedaj je očitno f ∘ h|_{X} : X → Y tudi homeomorfizem.

197. Ker je M mnogoterost, lahko vsako točko M pokrijemo z odprto množico, ki se da vložiti v IR^{n}. Naj bo ϵ Lebesgueovo število tega pokritja (glede na metriko d). Vsaka množica s premerom manjšim od ϵ leži v kakem elementu pokritja, torej se da vložiti v IR^{n}.

198. Rob M ×N je ∂M ×N ∪M ×∂N in ∂M ×N ∩M ×∂N = ∂M ×∂N ≠ ∅, torej je tudi rob povezan. Njegova Eulerjeva karakteristika je dana z

χ(∂(M × N)) = χ(∂M)χ(N) + χ(M)χ(∂N) − χ(∂M)χ(∂N).

Če vpeljemo količino φ(M) := χ(M) − χ(∂M), lahko zgornjo relacijo zapišemo kot φ(M × N) = φ(M)φ(N).

199. Ne, ker je χ(ΣT) = 2, medtem ko je χ(Σ(T #T)) = 4.

200. b) χ(X) = χ(P) + χ(Q) − 2n.

201. Ploskev je sklenjena, povezana in vložena v IR^{3}, torej je orientabilna. Njena Eulerjeva karakteristika je −4, zato je ploskev homeomorfna povezani vsoti treh torusov.

202. Podali bomo le idejo dokaza. Najprej opazimo, da tako navadni trak (to je, S^{1} × I) kot Möbiusov trak lahko vložimo v T in sicer drugega tako, da prepotujemo s trakom vse tri ’liste’ prostora T. Potem upoštevamo, da se da vsako kompaktno ploskev z robom predstaviti kot disk, na katerega smo na ustrezen način nalepili trakove. Bralcu prepuščamo naj premisli, kako organizirati vložitev tako predstavljene ploskve v T. Denimo, da obstaja vložitev f sklenjene ploskve M v T. Presek f(M) z vsaj eno izmed treh komponent prostora T −(\frac{1}{2} ×I ×0) je neprazen, zato lahko brez izgube splošnosti privzamemo f(M) ∩ L ≠ ∅, kjer je L = \frac{1}{2} × I × I. Zaradi izreka o invarianci odprtih množic ima vsaka točka iz f(M)∩L okolico, homeomorfno IR^{2} in vsebovano v f(M)∩L. Po drugi strani pa točka v f(M) ∩ L, ki je najbližja točki (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1), ne more imeti okolice, homeomorfne IR^{2} in vsebovane v f(M) ∩ L. Protislovje.

203. Ploskev je očitno neorientabilna, njena Eulerjeva karakteristika je −3, to je torej povezana vsota petih projektivnih ravnin.

204. a) χ(K) = 11.

b) Ne, ker nobena ploskev nima Eulerjeve karakteristike enake 11.

205. Möbiusov trak lahko vložimo v IR^{3}, vsaka notranja točka v 3-mnogo-terosti pa ima okolico, homeomorfno IR^{3}.

206. Vse kompaktne ploskve. Ker je projekcija S^{2} → B^{2} × 0 kvocientna, je disk kvocientni prostor sfere. Vemo pa, da vsako kompaktno ploskev lahko dobimo kot kvocientni prostor fundamentalnega poligona, ki je homeomorfen disku.

207. Vse ploskve se dajo triangulirati, zato naj bo K triangulacija izbrane ploskve. Ker vsako kompaktno ploskev z robom lahko vložimo že v IR^{3}, nam ostanejo le še sklenjene ploskve. Naj bo |K| sklenjena ploskev in naj bo σ simpleks v triangulaciji. Tedaj je P := |K −σ| kompaktna ploskev, katere rob ima eno komponento, torej lahko privzamemo, da je P ⊂ IR^{3} × 0 ⊂ IR^{4}. Naj bo f : ∂σ → P kosoma linearni homeomorfizem roba trikotnika na rob P. Po točki b) 170. naloge obstaja vložitev zlepka trikotnika s P, ki je homeomorfen prvotni ploskvi, v IR^{4}.

Vodnik po literaturi

V tem razdelku ponujam radovednemu bralcu kratek pregled vsebine in primernosti dela literature s področja, ki ga obravnavamo v zbirki. Seznam nikakor ni popoln, obstaja še veliko knjig, celo učbenikov iz splošne in geometrijske topologije.

Na začetku se mi zdi smiselno opozoriti bralca na določeno terminološko neusklajenost med različnimi viri. Tipična primera sta pojma regularnost in normalnost, ki včasih (npr. v [9] in [5]) pomenita tisto, kar smo mi imenovali T_{3} in T_{4}. Podobno je treba v [2] upoštevati, da avtor od nekje naprej privzame, da so vsi obravnavani prostori T_{2}, kar včasih vpliva na nekatere definicije.

Začnimo z deli v slovenščini. Učbenik [9] daje zgoščen pregled osnovnih pojmov splošne topologije. Spremlja ga zbirka rešenih nalog [10]. Ker je včasih topologija sodila v prvi letnik študija, so v zbirki naloge nekoliko prelahke. Učbenik [13] je posvečen podrobnejšemu študiju metričnih prostorov, vsebuje pa tudi veliko zanimivih, različno težkih nalog. Zaradi tega smo tukaj metrične prostore obravnavali bolj površno.

Težavnost nalog v [7] je zelo primerna, čeprav so poudarjene včasih druge reči kot tukaj.

Knjiga, ki verjetno najbolje pokriva tisti del programa, ki sodi v splošno topologijo, je [2]. Žal so naloge, ki jih je veliko in spremljajo vsa poglavja, praviloma dokaj zahtevne. Podobna ocena velja tudi za [5]. V njej so naloge pogosto pravi mali študijski programi, zelo primerni za poglabljanje v snov.

Knjiga [4] je edina na seznamu, v kateri sta obravnavani tako splošna kot geometrijska topologija. Kot primeren vir za simplicialno tehniko priporočamo tudi [8], za klasifikacijo ploskev pa [6].

Knjige [11], [16] in [17] pokrivajo standardno snov splošne topologije, vendar so v primerjavi z že naštetimi v večji meri usmerjene k uporabam v analizi. Posebej bi izpostavil [16], v kateri je zelo veliko različno težkih nalog.

Za poglabljanje v mrežo povezav med topološkimi lastnostmi, v svet primerov in protiprimerov, je najprimernejši vir [12], ki je prava zakladnica prostorov, ki ponazarjajo pomen različnimi topoloških pojmov.

Na koncu omenimo še knjigi [1] in [3], ki ju ne priporočamo kot učbenika, temveč kot standardna priročnika splošne topologije.

Literatura

[1] A.Czasar:

[2] J.Dugundji: Topology, Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1966.

[3] R.Engelking:

[4] Hocking-Young: Topology

[5] J.Kelley: General Topology, Van Nostrand Co., Inc., Princeton, New Jersey, 1960.

[6] Massey: Algebraic topology: an introduction

[7] M.Mršević: Zbirka rešenih zadataka iz topologije

[8] Munkres: Elements of algebraic topology

[9] N.Prijatelj: Strukture III, Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1985.

[10] J.Rakovec:

[11] G.F.Simmons: Introduction to topology and modern analysis, McGraw-Hill, New York, 1963.

[12] Steen-Seebach: Counterexamples in topology

[13] I.Vidav: Algebra, DMFA Slovenije, Ljubljana, 1980.

[14] J.Vrabec: Metrični prostori

[15] J.Vrabec: O Cantorjevi množici, v Podiplomski seminar iz matematike 3/4, IMFM, Ljubljana, 1973.

LITERATURA 129 [16] Wilansky: Topology for Analysis

[17] Wilard: