Gibanje v gravitacijskem polju

Točka z maso m se giblje pod vplivom gravitacijske sile

                                                                                                         F(r) = -((mMκ)/(r^2)).
                                                                                                     

Vzeli bomo parametre, ki ustrezajo gibanju planeta okoli Sonca. Tedaj je masa Sonca enaka M = 1.98 x (10^30)kg, gravitacijska konstanta pa je κ = 6.67 x (10^(-11)) (m^3) (kg^(-1)) (s^(-2)).
Zaradi preprostosti bomo razdalje merili v enoti (10^6)km, čas pa v dnevih. Za izhodišče si poglejmo orbito Zemlje. Zemlja je v periheliju od Sonca oddaljena 147.098 x (10^6) km.     
Trajektorijo Zemlje bomo izračunali numerično z reševanjem sistema diferencialnih enačb drugega reda.

x0=147.098;

M=1.9891*10^(30);

k=6.67*10^(-11)*10^(-27)*(86400)^2;

v0=30290000*10^(-12)*86400;

s=NDSolve[{x''[t]==-M*k*x[t]/(Sqrt[x[t]^2+y[t]^2])^(3),y''[t]==-M*k* y[t]/(x[t]^2+y[t]^2)^(3/2),x[0]==x0,y[0]==0,x'[0]==0,y'[0]==v0},{x[t],y[t]},{t,0,1000},AccuracyGoal->200,MaxSteps->∞];

orbita=ParametricPlot[{First[Evaluate[x[t]/.s]],First[y[t]/.s]},{t,0,366},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Blue,Dashed}];

Show[orbita,PlotRange->{{-170,170},{-170,170}},AxesStyle->Arrowheads[{0.04}],AxesOrigin->{0,0}]

Vidimo, da je tir Zemlje rahlo sploščena elipsa.

Sedaj si poglejmo, kako bi se spremenila orbita Zemlje, če bi ji v periheliju spremenili smer in velikost hitrosti.

Manipulate[
s=NDSolve[{x''[t]==-M*k*x[t]/(Sqrt[x[t]^2+y[t]^2])^(3),y''[t]==-M*k* y[t]/(x[t]^2+y[t]^2)^(3/2),x[0]==x0,y[0]==0,x'[0]==c*Cos[d]*v0,y'[0]==c*Sin[d]*v0},{x[t],y[t]},{t,0,5000},AccuracyGoal->200,MaxSteps->∞];
graf=ParametricPlot[{First[Evaluate[x[t]/.s]],First[y[t]/.s]},{t,0,5000},AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->{Blue,Dashed}];
Show[graf,ImageSize->{700,450},PlotRange->{{-500,300},{-400,400}},AxesStyle->Arrowheads[{0.04}],AxesOrigin->{0,0}],{{c,1,"Hitrost (30000 km/s)"},0.5,1.5,0.1,Appearance->"Labeled",AnimationRunning->False},
{{d,Pi/2,"Kot začetne hitrosti (glede na x-os)"},Pi/4,3Pi/4,Pi/16,Appearance->"Labeled",AnimationRunning->False}
]

Če Zemlji zmanjšamo hitrost v tangentni smeri, bo njen tir elipsa s čedalje večjo ekscentričnostjo, a z omejeno večjo polosjo.  V kolikor ji hitrost v tangentni smeri povečamo, dobimo
spet eliptične tire s čedalje večjo ekscentričnostjo in hkrati s čedalje večjim premerom. Nekje pri razmerju (2^0.5)tir postane neomejen, najprej v obliki parabole, nato pa v obliki hiperbole. Če spremenimo kot hitrosti, pride do vrtenja orbite.