Logika in množice

Ker bo verjetno vaš prvi ustni izpit na univerzitetnem študiju pri predmetu Logika in množice, mi dovolite, da malce modrujem. Na izpit se morate temeljito pripraviti. Poznati morate vse pojme, ki smo jih obravnavali, poznati morate definicije, izreke in njihova imena (Zakon o izključeni tretji možnosti, Cantorjev izrek, Aksiom izbire ipd.), kakor tudi dokaze izrekov (oziroma vsaj idejo dokaza). Če na ustnem izpitu padete, vam propade tudi pisni izpit in kolokviji, tako da morate spet na pisni izpit.

Poznam študente, ki se učijo tako, da 100-krat preberejo zapiske in pogledajo video lekcije, in mislijo, da kaj znajo. Takemu študentu se zlahka zgodi, da na ustnem izpitu ne bo iz sebe spravil nič. Predlagam, da se učite nekako takole (vsak pa mora seveda sam prilagoditi način učenja sam sebi):

1. Zberete skupaj vse gradivo.
2. Pripravite si pregled gradiva po poglavjih.
3. Pridobite si pregled nad gradivom. Če vprašam "Kaj vse smo počeli?", bi morali načeloma vedeti, katera poglavja smo obdelali. S tem ne mislim, da zdrdrate spisek poglavij kot robot, ampak da znate v grobem povedati, kaj se je dogajalo pri predmetu.
4. Postopoma obdelate posamezne kose snovi. Tu je zelo pomembno, da ponavljate brez zapiskov. Usedete se pred prazen list, zamislite si možno vprašanje (recimo "Kaj veš povedati o izomorfizmih množic?") in potem v mislih ali na glas govorite v celih stavkih, kot da odgovarjate pred tablo, zraven pišete na papir, kar bi sicer na tablo. Pripravite si zgodbice, ki jih boste povedali ob kosu snovi.
5. Zelo rad sprašujem primere in protiprimere, zato si jih lahko zamislite že med učenjem. Znate povedati primer retrakcije ki ni izomorfizem? Kaj pa delno ureditev, ki ni linearna?
6. Ko odgovarjate na vprašanje, razlagajte približno tako, kot da bi želeli snov pojasniti nekomu, ki je ni še nikoli slišal.
7. Zelo koristno je svoje znanje preveriti pred sošolci. Eden se dela, da je prof. Bauer in sprašuje, drugi odgovarja.

Na ustnem izpitu preverjam, ali razumete snov. To pomeni, da morate na izpitu izkazati dvoje:

1. Sposobni ste matematično pravilno povedati osovne pojme, definicije in izreke.
2. Osnovne pojme, definicije in izreke znate pojasniti s primeri, protiprimeri, znate razložiti dokaze, veste kakšne so povezave med pojmi in izreki ipd.

Prva točka je samo priprava za drugo točko. Če ne znate matematično pravilno povedati osnovne definicije, ali če ne znate pravilno formulirati izreka, potem se ne moremo pogovarjati o razumevanju in izpita nima smisla nadaljevati. Seveda se lahko zmotite pri zapisu definicije in izreka, to ni nič hudega – a takem primeru je pomembno, da se znate tudi popraviti in ugotoviti, kje je napaka. Ni nujno, da vam bom jaz povedal, da ste nekaj narobe definirali, saj se ravno pri iskanju lastnih napak izkaže razumevanje snovi.

Nekateri študenti raje ne povejo nič, ker se bojijo, da bodo narobe povedali. Nikar! Nič ni narobe, če poveste, ugotovite, da je narobe in se popravite. Če vas moram jaz stalno opozarjati, da je narobe, potem to seveda ni dobro, ampak dosti slabše je, če ste tiho.

Na ustnem izpitu lahko padete že, če ne poznate enega samega pomembnega pojma ali izreka. Recimo, če ne znate pravilno formulirati definicije injektivne preslikave, je to zadosten razlog, da padete. Ker to ni pisni izpit, se ne ocenjuje, ali znate vsaj polovico snovi, ampak morate pokazati, da ste predelali in se naučili celotno snov. Velja seveda tudi, da lahko dobite 6 kljub temu, da ste na dve vprašanji odgovorili briljantno, tretje pa ste zamočili. Predstavljajte si takole: v kuharski šoli vajenec zna pripraviti fuže s tartufi in bujto repo, ne zna pa speči jajca na oko. Ali lahko postane kuharski mojster?

Preden odgovorite, si vzemite čas za premislek. Če boste zelo dolgo razmišljali, bom pač vmes malo bral e-mail. Odgovarjajte v celih stavkih. Pravilno matematično izražanje pomeni, da govorite v celih stavkih in natančno. Primer:

• prof. Bauer: "Kaj pomeni, da je delna ureditev linearna?"
• študent: "da je $x$ manš ud unga druzga al pa ne."

To je izredno šlampast odgovor, ki kaže na pomankljivo sposobnost izražanja. Pri tem predmetu se sposobnost matematičnega izražanja ocenjuje.

Navajam še primer študenta, ki pade na izpitu, čeprav verjetno na nekem nivoju ve odgovor:

• prof. Bauer: "Kaj pomeni, da je delna ureditev linearna?"
• študent: "To pomeni, da je $x$ manjši od $y$ oziroma obratno."
• prof. Bauer: "Kaj natančno hočeš povedati?"
• študent gleda prestrašeno
• prof. Bauer: "Kaj hočeš povedati s frazo "oziroma obratno"?"
• študent: "Ja, da je obratno od manjši."
• prof. Bauer (ne ve, kaj študenti hoče povedati): "Ok, napiši to s formulo na tablo, prosim."
• študent napiše na tablo: "$x ≤ y, y ≤ x$"
• prof. Bauer: "Kaj pomeni tale vejica med $x ≤ y$ in $y ≤ x$?"
• študent gleda prestrašeno
• prof. Bauer: "Kateri logični veznik je mišljen z vejico?"
• študent: "In?"
• prof. Bauer: "A res? Premisli."
• študent: "Ali?"
• prof. Bauer: "Ja, ali. No, pa poznaš kak primer linearne urejenosti?"
• študent: "Realna števila"
• prof. Bauer: "Realna števila so množica. Delna urejenost zahteva še relacijo. Katero relacijo bi vzel?"
• študent: "Manjše."
• prof. Bauer: "Ali je to refleksivna relacija?"
• študent: "Ne."
• prof. Bauer: "Torej ni delna urejenost. To ne bo dobro."
• študent: "Manjše ali enako."
• prof. Bauer (razmišlja, da bi bil raje zobozdravnik): "Ja, to bi pa šlo."

Iz tega, kar je študent povedal, je težko reči, ali ve, kaj je linearna urejenost. To, kar pa je zelo negativno in zaradi česar na izpitu pade, je dejstvo, da sploh ne zna povedati, kaj misli. Ne govori tako, da bi lahko jaz ali kdorkoli drug razumel matematično vsebino, ki jo poskuša posredovati. In prav to je bistvo predmeta logika in množice. Ta isti pogovor bi lahko bil dosti krajši:

• prof. Bauer: "Kaj pomeni, da je delna ureditev linearna?"
• študent: "To pomeni, da za vsaka dva elementa $x$ in $y$ velja $x \leq y$ ali $y \leq x$."
• prof. Bauer: "Aha, ali poznaš kak primer linearne urejenosti?"
• študent: "Na primer realna števila urejena z običajno relacijo manjše ali enako."
• prof. Bauer zadovoljno kima z glavo in si izmisli težje vprašanje, ker študent očitno cilja na visoko oceno.

Obstajajo študenti, ki ne vedo, kaj so ravnokar povedali. Lahko se zgodi, da vas prosim, da poveste še enkrat točno to, kar ste ravnokar povedali. Morda sem naglušen, morda ste povedali narobe, morda občudujem vaš literalni stil, kdo ve. Je pa zagotovo osnovna zahteva matematične komunikacije, da znate ponoviti to, kar ste povedali, zato tudi to preizkušam. Če vas prosim, da ponovite svojo izjavo, vi pa vidite, da je bila napačna, je to odlična priložnost, da se sami popravite.

Pravilno:

• študent: "Funkcija $f$ je injektivna, če iz $x = y$ sledi $f(x) = f(y)$."
• prof. Bauer: "Sorry, nisem tega ujel, kaj ste povedali?"
• študent: "Rekel sem: funkcija $f$ je injektivna, če iz $x = y$ sledi $f(x) = f(y)$, vendar je to narobe in sem samo preizkušal, ali mi sledite. V resnici je pravilno: funkcija $f$ je injektivna, če iz $f(x) = f(y)$ sledi $x = y$"
• prof. Bauer: "Ti si pa en komedijant, a ne?" (in vpraša nekaj težjega o injektivnih funkcijah)

Sprejemljivo, a nezadostno:

• študent: "Funkcija $f$ je injektivna, če iz $x = y$ sledi $f(x) = f(y)$."
• prof. Bauer: "Sorry, nisem tega ujel, kaj ste povedali?"
• študent: "Funkcija $f$ je injektivna, če iz $x = y$ sledi $f(x) = f(y)$."
• prof. Bauer (da še eno šanso): "Zapišite na tablo, prosim."
• študent napiše na tablo
• prof. Bauer (da tretjo šanso): "Pa mi povejte kak primer funkcije, ki ni injektivna."
• študent: "$f(x) = x^2$ kot realna funkcija."
• prof. Bauer: "Glede na to, kako je na tabli napisana definicija injektivnosti, a res? Se pravi, da iz $x = y$ ne sledi $x^2 = y^2$? To je čudno."
• študent: "Aja, tu pa nekaj ne bo v redu." (napeto razmišlja)
• prof. Bauer obupuje, ker se študent ni prebil niti čez definicijo injektivnosti

Napačno:

• študent: "Funkcija $f$ je injektivna, če iz $x = y$ sledi $f(x) = f(y)$."
• prof. Bauer: "Sorry, nisem tega ujel, kaj ste povedali?"
• študent: spremeni barvo kože
• prof. Bauer potrpežljivo čaka
• študent: "Funkcija $f$ je injektivna, če is $u = v$ sledi $f(u) = f(v)$."
• prof. Bauer (ki bi rad samo ugotovil, ali zna študent ponoviti isti stavek dvakrat): "Ja ne čisto. Prej sta bila $x$ in $y$, zdaj pa $u$ in $v$. V čem je razlika?"
• študent, z mišjih glaskom: "Ne vem."

Načeloma sem opazil, da tisti študenti, ki so se dobro in pravilno pripravili, tudi dobro opravijo izpit. Vso srečo!