Dragi vsi,
Na Učilnici lahko najdete rezultate 1. izpita. Ogledi so v tem trenutku možni le na daljavo; če ste zainteresirani, mi prosim pišite na dejan.govc@fmf.uni-lj.si. (Če vas zanima točno določena naloga, mi to prav tako lahko napišete v sporočilu, da bom vedel, kaj poskenirati.)
Prilagam kratek povzetek rešitev, ki bo morda razjasnil nekaj vprašanj:
1. NE DA NE DA DA NE DA DA DA NE.
2. a) prazna množica in (npr.) standardni enojec 1 = {()}. b) (=>) če je A podenojec, ločimo dve možnosti: i) A prazna: v tem primeru A^A vsebuje le prazno preslikavo; ii) A = {a}: v tem primeru A^A vsebuje le preslikavo a |-> a; (<=) dokazujemo: če A ni podenojec, potem A^A ni enojec; A ima namreč v tem primeru elementa a_1 in a_2, ki nista enaka, zato A^A vsebuje vsaj dve preslikavi, namreč x |-> a_1 in x |-> a_2.
3. a) JE. (Dokažemo irefleksivnost in tranzitivnost.) b) NI. (S protiprimerom dokažemo, da relacija ni sovisna.) c) JE. (Dokažemo, da relacija nima padajoče verige.)
4. a) Dokažemo refleksivnost, tranzitivnost in antisimetričnost. b) Opazimo, da so ekvivalenčni razredi števni. Če bi bila P(N)/~ števna, bi bila torej P(N) števna unija števnih množic, kar pa vemo, da ni res. c) Injekcija P(N)/~ -> P(N) je npr. izbor predstavnikov, ki obstaja po aksiomu izbire. Injekcijo P(N) -> P(N)/~ pa je treba skonstruirati: definiramo jo lahko npr. s predpisom f(A) = [b_*(A x N)], kjer je b: N x N -> N bijekcija; nato dokažemo, da je res injekcija.
Lep pozdrav,
Dejan