Course: Teorija grup in polgrup

Topic outline

General
Preverjanja znanja
- Domače naloge in ustni izpiti Page
- Dosežene točke iz domačih nalog URL
Teorija
- Zapiski predavanj File
- 1. Osnovni pojmi
  1.1. Kategorija grup
  abstraktne grupe: grupa, podgrupa, odseki, indeks, homomorfizem, izomorfizem, jedro, slika
  konkretne grupe: simetrična grupa, Cayleyjev izrek, primeri grup simetrij
  edinke in kvocienti: edinka, kvocientna grupa, kvocientna projekcija
  
  1.2. Generatorji in relacije
  generatorji grup: podgrupa generirana z množico, končno generirana grupa
  proste grupe: prosto generirana grupa, prosta grupa, obstoj in enoličnost prosto generirane grupe, prosta grupa ranga n
  generatorji in relacije: edinka generirana z množico, grupa generirana z generatorji in relacijami, prezentacija, univerzalna lastnost, diedrska grupa, besedni problem
  končno prezentirane grupe: svetilkarjeva grupa
  
  1.3. Nove grupe iz starih
  produkti: direktni produkt, direktna vsota
  razširitve: razširitev Q z N
  semidirektni produkt: semidirektni produkt Q z N glede na delovanje, diedrska grupa, svetilkarjeva grupa, razcepna razširitev
- 2. Delovanja
  2.1. Delovanja grup
  osnovno o delovanjih: delovanje, upodobitev
  Cayleyjevo delovanje: Cayleyjev graf, primeri, proste grupe so grupe katerih Cayleyjev graf je lahko drevo
  prosta delovanja: prosto delovanje na grafu, Cayleyjevo delovanje na grafu, prosto če in samo če ni elementov reda 2
  orbite in stabilizatorji: orbita, množica orbit, stabilizator, množica fiksnih točk, lema o orbiti in stabilizatorju
  tranzitivna delovanja: karakterizacija Cayleyjevih grafov
  
  2.2. Proste grupe in drevesa
  prosto delovanje proste grupe na drevesu: izrek (prosta čee prosto na drevesu)
  vpeta drevesa delovanj: vpeto drevo delovanja, vpeta drevesa obstajajo
  kontrakcija in Cayleyjevo drevo: dokaz izreka (prosta čee prosto na drevesu)
  uporaba: podgrupe prostih grup: Nielsen-Schreier, kvantitativni Nielsen-Schreier
  pingpong: pingpong izrek, SL2(Z) je virtualno prosta
- 3. Struktura grup
  3.1. Rešljive grupe
  rešljivost: vrsta podgrup z abelovimi kvocienti
  izvedena vrsta: karakterizacija rešljivosti z izvedeno vrsto, izvedena dolžina, diedrska grupa je rešljiva izvedene dolžine 2, rešljivost je zaprta za podgrupe, kvociente, razširitve, svetilkarjeva grupa je rešljiva
  noetherskost: ekvivalentni pogoji za noetherskost, policiklične grupe
  Hirschova dolžina: lema o pofinitvi, Hirschova dolžina, policiklične grupe so virtualno brez torzije
  
  3.2. Nilpotentne grupe
  nilpotentnost: nilpotentna grupa, centralna vrsta
  spodnja in zgornja centralna vrsta: spodnja centralna vrsta, razred nilpotentnosti, Heisenbergova grupa je nilpotetna razreda 2, zgornja centralna vrsta, končne p-grupe so nilpotentne
  komutatorji: komutator, komutatorski identiteti, komutator uteži c, Hall-Wittova identiteta, lema o generatorjih [H,K]
  komutatorji in spodnja centralna vrsta: spodnja centralna vrsta je generirana s komutatorji višjih uteži, spodnja centralna vrsta diedrske grupe, kvocienti spodnje centralne vrste v nilpotentni grupi, k.g. nilpotentna grupa je policiklična, torzijska nilpotentna grupa je končna, Burnsideov problem
  
  3.3. Teorija razširitev
  problem rekonstrukcije: razrez grupe na enostavne kose, končne enostavne grupe
  kategorija razširitev: morfizem med razširitvama
  delovanje v razširitvi z abelovim jedrom: transverzala/prerezna funkcija, delovanje Q na N iz razširitve, delovanje je neodvisno od izbire transverzale
  kohomologija: 2-kocikli, odvisnost od transverzale, 2-korobovi, druga kohomološka grupa, razširitev iz kohomološkega elementa, izrek o bijekciji med ekvivalenčnimi razredi razširitev in kohomološko grupo, število 2-grup, skoraj vse končne grupe so 2-grupe
- 4. Rast
  4.1. Funkcija rasti
  besedna metrika: dolžina elementa, žoga, sfera
  funkcija rasti: kumulativna funkcija rasti, rast Z glede na {1} in {2,3}, rast diedrske grupe, rast Z^d, rast proste grupe $\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle$
  ekvivalenca funkcij rasti: rastni funkciji iste grupe sta ekvivalentni
  
  4.2. Izračun rasti
  izračunljivost: izračunljiva funkcija
  izračunljivost rasti: besedni problem je rešljiv čee je funkcija rasti izračunljiva
  
  4.3. Osnovne lastnosti rasti
  tipi rasti: Feketejev lema, eksponentna rast, podeksponentna rast, polinomska rast, stopnja rasti, srednja rast, tip rasti je neodvisen od izbire generatorjev, enakomerno eksponentna rast
  rast in pogrupe ter kvocienti: pri jemanju podgrup in kvocientov se rastni tip ne poveča, rastni tip podgrupe končnega indeksa ali kvocienta po končni edinki, stopnja rasti podgrupe neskončnega indeksa ali kvocienta po neskončni edinki
- 5. Polinomska rast
  5.1. Rast nilpotentnih grup
  polinomska rast nilpotentnih grup: k. g. v. nilpotentne grupe so polinomske rasti, postopek zbiranja komutatorjev
  rast Heisenbergove grupe: neenakosti o dolžini elementov
  natančna stopnja rasti nilpotentne grupe: formula o stopnji rasti
  
  5.2. Rast rešljivih grup
  rast svetilkarjeve grupe
  rešljive grupe podeksponentne rasti: k. g. rešljive grupe podeksponentne rasti so policiklične, trditev (podeksponentna -> izvedena k. g.)
  rast Osinove grupe
  policiklične grupe podeksponentne rasti: pc grupa podeksponentne rasti je v. nilpotentna
  
  5.3. Rast linearnih grup
  upodobitve grup: kompleksne upodobitve, Tarskijeva pošast
  linearne grupe: Titsova alternativa, dihotomija med eksponentno in polinomsko rastjo za linearne grupe
  končne linearne grupe: Jordanov izrek
  Liejeve grupe: topološka grupa, Liejeva grupa, zvezna Heisenbergova grupa, Liejeve grupe so skoraj linearne, lastnost (brez malih redov), izrek Montgomery-Zippin, ortogonalna grupa
  izrek Gromova
  
  5.4. Asimptotski stožec
  pogled od daleč
  ultrafiltri: filter, ultrafilter, glavni ultrafilter, kokončni filter, osnovne lastnosti ultrafiltrov
  ultralimite: U-limita, limite vzdolž vseh neglavnih ultrafiltrov hkrati podajajo enako informacijo kot običajne limite, U-limite vedno obstajajo in so enolične, U-limita izbere neko stekališče zaporedja
  asimptotski stožec: zaporedje zmerne rasti, razdalja med zaporedjema zmerne rasti, ekvivalenca zaporedij, asimptotski stožec
  asimptotski stožec grupe: K = ZZR/ZZR_0, K je homogen, lokalno povezan, s potmi povezan, poln metrični prostor
  delovanje grupe na svojem asimptotskem stožcu: topologija na Isom(K), izrek o delovanju Phi
  
  5.5. Izrek Gromova
  Hausdorffova dimenzija: d-dimenzionalna Hausdorffova mera množice, Hausdorffova dimenzija, topološka dimenzija je minimum Hausdorffovih dimenzij homeomorfnih modelov prostora, krogle in Hausdorffova dimenzija
  asimptotski stožec grupe polinomske rasti: pokritja krogle v stožcu z malimi kroglicami, asimptotski stožec je končno dimenzionalen in lokalno kompakten
  prek stožca do matrik: neskončna grupa polinomske rasti ima virtualno epimorfno sliko, ki je linearna in neskončna (oziroma je podgrupa Liejeve grupe in je poljubno velika)
  dokaz izreka Gromova: neskončna grupa polinomske rasti ima virtualno epimorfno sliko Z, induktiven dokaz izreka Gromova
- 6. Srednja rast
  6.1. Grigorčukova grupa
  avtomorfizmi drevesa: dvojiško drevo T, prenos pi_v, sestavljajoči homomorfizem sigma, avtomorfizmi a,b,c,d, Grigorčukova grupa
  osnovne lastnosti: alternirajoče besede, podgrupa H, razstavljajoči homomorfizem rho, Gamma je neskončna
  samopodobnost: grupi Gamma in Gamma x Gamma sta primerljivi, Gamma ni polinomske rasti
  rast: lema o krajšanju dolžin, Gamma je srednje rasti, rastna funkcija je omejena s funkcijama oblike exp(n^p)
  
  6.2. Amenabilnost
  obstoj invariantne mere: amenabilna grupa, primeri
  integral po meri: integral, obstoj levo in desno translacijsko invariantne mere
  osnovne lastnosti amenabilnosti: zaprtost za podgrupe, kvociente in razširitve, končne in abelove grupe so amenabilne
  Følnerjeva zaporedja: rob množice, Følnerjev pogoj, grupa zadošča Følnerjevemu pogoju čee je amenabilna, grupe podeksponentne rasti so amenabilne, venčni produkt Z/2Z in Grugorčukove grupe
  paradoksalne dekompozicije: paradoksalna grupa, izrek Tarskega, paradoksalna množica, prosto delovanje paradoksalne grupe inducira paradoksalno množico, Hausdorffov paradoks
- 7. Eksponentna rast
  7.1. Enakomerno eksponentna rast
  rešljive grupe: Osinov izrek
  linearne grupe: enakomerna Titsova alternativa, enakomerno eksponentna rast linearnih grup, ki niso v. rešljive, projekcija krogel iz SL2(Z) v SL2(Z/pZ) in rast v končnih grupah, Breuillardova domneva
  
  7.2. Bartholdijeva grupa
  konstrukcija: grupa W kot podgrupa Sym(P*)
  samopodobnost
  generatorji
  rast: W je eksponentne rasti in ni enakomerno eksponentne rasti
Vaje
Domače naloge
GAP
Programsko orodje GAP je na voljo brezplačno na: http://www.gap-system.org/Releases/index.html
Navodila za namestitev (v različnih operacijskih sistemih) so na voljo na: http://www.gap-system.org/Download/index.html
Obsežen priročnik je na povezavi: http://www.gap-system.org/Manuals/doc/ref/chap0.html
Za začetek je priporočljivo pogledati hiter uvod v uporabo GAP-a: http://www.gap-system.org/Manuals/doc/tut/chap0.html
Primeri uporabe so na voljo tudi v skripti: https://www.fmf.uni-lj.si/~moravec/Papers/rogla2014_moravec.pdf

Topic outline

General

Preverjanja znanja

Teorija

1. Osnovni pojmi

1.1. Kategorija grup

1.2. Generatorji in relacije

1.3. Nove grupe iz starih

2. Delovanja

2.1. Delovanja grup

2.2. Proste grupe in drevesa

3. Struktura grup

3.1. Rešljive grupe

3.2. Nilpotentne grupe

3.3. Teorija razširitev

4. Rast

4.1. Funkcija rasti

4.2. Izračun rasti

4.3. Osnovne lastnosti rasti

5. Polinomska rast

5.1. Rast nilpotentnih grup

5.2. Rast rešljivih grup

5.3. Rast linearnih grup

5.4. Asimptotski stožec

5.5. Izrek Gromova

6. Srednja rast

6.1. Grigorčukova grupa

6.2. Amenabilnost

7. Eksponentna rast

7.1. Enakomerno eksponentna rast

7.2. Bartholdijeva grupa

Vaje

Domače naloge

GAP