Weekly outline
Ocenjevanje znanja
Datuma kvizov:- 1. kviz: 10. 12. 2021 od 12h do 14h v 3.11 in 3.12 (ali 3.10)
- 2. kviz: 14. 01. 2022 od 10h do 12h v 3.11 in 3.12 (ali 3.10)
Datumi pisnih izpitov:- 1. pisni izpit: 21. 1. 2022 od 12h do 14h v 2.01
- 2. pisni izpit: 7. 2. 2022 od 10h do 12h v 2.02
- 3. pisni izpit: 26. 8. 2022 od 12h do 14h v 3.06
- 1. kviz: 10. 12. 2021 od 12h do 14h v 3.11 in 3.12 (ali 3.10)
Vaje
27 September - 3 October
Naredili smo pregled matematičnih problemov, ki jih bomo numerično reševali in začeli z osnovami numeričnega računanja. Obravnavali smo predstavitev števil v premični piki. Nato smo se lotili treh vrst napak pri numeričnem računanju: neodstranljive napake, napake metode in zaokrožitvene napake. Ogledali smo napake pri računanju členov zaporedja, podanega s tričlensko formulo.
Zaradi nepravilne uporabe numeričnih metod oz. numeričnega računanja lahko pride do velikih napak in tudi tragičnih nesreč. Poglejte, kaj se je zgodilo v naslednjih treh primerih.
4. oktober - 9. oktober
Definirali smo občutljivost problema in stabilnost numerične metode. Analizirali smo zaokrožitvene napake pri množenju števil in pokazali, da je direktno in obratno stabilno.
Pogledali smo nekaj poučnih numeričnih primerov, kjer pri uporabi formul, ki so sicer pravilne, pri nepazljivem numeričnem računanju hitro pridemo do nenatančnih rezultatov.
Začeli smo z obravnavo reševanja nelineranih enačb. Ogledali smo si občutljivost ničel in bisekcijo.
Zgledi v Matlabu:
- Računanje števila pi po Arhimedu: uvod_161.m
- Računanje I(n) po rekurzivni formuli: uvod_164.m
- Računanje števila pi po Arhimedu: uvod_161.m
10. oktober - 16. oktober
Ukvarjali smo se z navadno iteracijo in z njeno konvergenco in redom konvergence. Ogledali smo si nekaj primerov
in njeno uporabo.
Zgledi v Matlabu:
- Bisekcija: bisekcija.m
- Navadna iteracija: iteracija.m
- Tangentna metoda: tangentna.m
- Bisekcija: bisekcija.m
17. oktober - 23. oktober
Kot poseben primer navadne iteracije smo spoznali tangentno metodo, kjer si pomagamo tudi z odvodom. Tangentna metoda ima to lepo lastnost, da so (če je funkcija dvakrat zvezno odvedljiva) vse ničle privlačne, v splošnem primeru pa je konvergenca kvadratična. Nadaljevali smo z reševanjem nelinearnih enačb. Kadar odvoda nimamo na voljo, lahko uporabimo npr. sekantno metodo, Mullerjevo metodo ali inverzno interpolacijo. Pri kombiniranih metodah počasno a robustno bisekcijo kombiniramo z metodami višjega reda, kot sta npr. sekantna metoda in inverzna interpolacija. Primer je Brentova metoda, ki je uporabljena v Matlabovi funkciji fzero. Ogledali smo si tudi metodo za iskanje ničel polinoma, ki problem prevede na iskanje lastnih vrednosti ustrezne matrike. Tako deluje Matlabova funkcija roots. Zgledi:
- Tangentna metoda: tangentna.m
- Sekantna metoda: sekantna.m
- Newtonova metoda za x^3+1=0 v kompleksnem: fraktal.m
- Metode brez odvodov: invinterpolacija.m, muller.m
- Demonstracija kombinirane (Brentove) metode za nelinearno enačbo: fzerogui.m
To je kratek kviz iz numeričnega reševanja nelinearnih enačb. Tako kot vsi ostali kvizi ne vpliva na končno oceno. Z reševanjem boste utrdili snov in spotoma izvedeli še kaj novega, če nič drugega pa lahko služi tudi za razvedrilo.
- Tangentna metoda: tangentna.m
24. oktober - 30. oktober
Nadaljevali smo z obravnavo norm in osnovami razumevanja sistemov linearnih enačb. Obravnavali smo obratno in direktno vstavljanje ter analizirali časovno zahtevnost obeh algoritmov. Nato smo obravnavali elementarne eliminacije in opisali osnovno idejo LU razcepa brez pivotiranja. Ogledali smo si tudi karakterizacijo matrik, za katere obstaja enolični LU razcep.